Derivabilità, Limite della Derivata, Rapporto Incrementale

[davicos]

Salve a tutti,
dal titolo si capisce ben poco lo so, ma questo è quanto: avrei bisogno di conferme di quanto appreso circa il fare il limite della derivata o il limite del rapporto incrementale di una funzione per verificare la derivabilità in un certo punto.

Se il limite della derivata prima di una funzione è un valore finito allora sono sicuro che in quel punto è derivabile, altrimenti è bene verificare mediante il limite del rapporto incrementale per essere sicuri se è derivabile o meno.

Nel senso: se il limite della derivata fallisce allora provo con il limite del rapporto incrementale, altrimenti non è necessario eseguire quest'ultimo giusto? Perchè facendo il limite della derivata prima e in seguito il limite del rapporto incrementale dovrebbero venire uguali (vengono uguali solo se il limite della derivata prima è finito).

Confermate quanto scritto?

Grazie.

[Studente Anonimo]

Anche quando esiste infinito il limite della derivata. Per esempio:

$[EE lim_(x->x_0^+)f'(x)=+oo] rarr$

$rarr [EE lim_(x->x_0^+)f'(\xi)=+oo] ^^ [x_0 lt \xi lt x] rarr$

$rarr [EE lim_(x->x_0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=+oo] rarr$

$rarr [EE lim_(h->0^+)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=+oo]$

ammesso che valga il teorema di Lagrange nell'intervallo $]x_0,x[$. Insomma:

$[EE lim_(x->x_0^+)f'(x)=+oo] rarr [EE lim_(h->0^+)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=+oo]$

[davicos]

Bene, quindi le cose che ho scritto sono comunque valide no?

Grazie.

[Studente Anonimo]

Sotto opportune ipotesi, se esiste finito oppure infinito il limite della derivata, esiste e assume lo stesso valore il limite del rapporto incrementale. Viceversa, se non esiste il limite della derivata, può comunque esistere il limite del rapporto incrementale, ed è calcolando proprio quest'ultimo che si decide se la funzione è derivabile.

[davicos]

Perfetto grazie mille!