Derivabilità in un punto
Sto affrontando esercizi che mi richiedono di determinare se una funzione è derivabile in punto (generalmente \(\displaystyle x = 0 \). Ora, io sto operando così, applicando la definizione:
-Verifico che nel punto la funzione sia continua
-Verifico se limite destro e limite sinistro del rapporto incrementale per x che tende al punto è uguale
E' corretto giusto?
A questo punto, ho un dubbio: nel caso di una funzione del tipo \(\displaystyle \sqrt{x}sin(x) \), se voglio studiare la derivabilità in 0, considerando che essendoci la radice considero il dominio ristretto a \(\displaystyle [0, \inf] \), mi basta trovare il limite sinistro del rapporto incrementale per x che tende a 0 (cioè 0) per stabilire che è derivabile in quel punto?
Inoltre, mi si chiede, con \(\displaystyle α > 0 \) e \(\displaystyle f (x) = x^α sin (1/x) \). Dire per quali \(\displaystyle α \), e possibile estendere la funzione f ad
una funzione derivabile in \(\displaystyle x = 0 \). Dire per quali \(\displaystyle α \), tale estensione ha derivata prima continua.
A questo punto, secondo i miei calcoli, studiando la continutà, in \(\displaystyle x = 0 \) deve imporre \(\displaystyle a > 0 \) e per la derivabilità, \(\displaystyle a > 1\). PEr la seconda domanda, sono in pò in dubbio: la funzione derivata dovrebbe essere \(\displaystyle ax^{a-1}*sin(1/x) +cos(1/x)*x^a \) (o qualcosa del genere, sono abbastanza distrutto dopo ore di studio
). Questa funzione mi sembra continua, visto che è somma/prodotto di continue (fermo restando che conservo i valori di a trovati in precedenza).
Però sono molto dubbioso sul mio procedimento, chi mi può dare conferme/smentite? Grazie a tutti e buonasera
-Verifico che nel punto la funzione sia continua
-Verifico se limite destro e limite sinistro del rapporto incrementale per x che tende al punto è uguale
E' corretto giusto?
A questo punto, ho un dubbio: nel caso di una funzione del tipo \(\displaystyle \sqrt{x}sin(x) \), se voglio studiare la derivabilità in 0, considerando che essendoci la radice considero il dominio ristretto a \(\displaystyle [0, \inf] \), mi basta trovare il limite sinistro del rapporto incrementale per x che tende a 0 (cioè 0) per stabilire che è derivabile in quel punto?
Inoltre, mi si chiede, con \(\displaystyle α > 0 \) e \(\displaystyle f (x) = x^α sin (1/x) \). Dire per quali \(\displaystyle α \), e possibile estendere la funzione f ad
una funzione derivabile in \(\displaystyle x = 0 \). Dire per quali \(\displaystyle α \), tale estensione ha derivata prima continua.
A questo punto, secondo i miei calcoli, studiando la continutà, in \(\displaystyle x = 0 \) deve imporre \(\displaystyle a > 0 \) e per la derivabilità, \(\displaystyle a > 1\). PEr la seconda domanda, sono in pò in dubbio: la funzione derivata dovrebbe essere \(\displaystyle ax^{a-1}*sin(1/x) +cos(1/x)*x^a \) (o qualcosa del genere, sono abbastanza distrutto dopo ore di studio
). Questa funzione mi sembra continua, visto che è somma/prodotto di continue (fermo restando che conservo i valori di a trovati in precedenza). Però sono molto dubbioso sul mio procedimento, chi mi può dare conferme/smentite? Grazie a tutti e buonasera
Risposte
"MaxwellD":
Sto affrontando esercizi che mi richiedono di determinare se una funzione è derivabile in punto (generalmente \(\displaystyle x = 0 \). Ora, io sto operando così, applicando la definizione:
-Verifico che nel punto la funzione sia continua
-Verifico se limite destro e limite sinistro del rapporto incrementale per x che tende al punto è uguale
E' corretto giusto?
penso che la verifica di continuità non sia necessaria. La continuità della funzione in un punto è diretta conseguenza della derivabilità della stessa nel punto considerato.
E' necessario , al contrario verificare se il punto appartiene o meno al dominio, per poi considerare il limite del rapporto incrementale.
A questo punto, ho un dubbio: nel caso di una funzione del tipo \(\displaystyle \sqrt{x}sin(x) \), se voglio studiare la derivabilità in 0, considerando che essendoci la radice considero il dominio ristretto a \(\displaystyle [0, \inf] \), mi basta trovare il limite sinistro del rapporto incrementale per x che tende a 0 (cioè 0) per stabilire che è derivabile in quel punto?
Devi trovare il destro, a sinistra la tua funzione non è definita. Quindi non ha senso chiedersi a cosa tende il limite a sinistra...
ciao!
Grazie mille!! Pensavo di verificare la continuità perchè pensavo alla funzione segno di x e lì il limite del rapporto incrementale mi veniva 0 a entrambi ma non è derivabile in x = 0 no?
per funzione segno che intendi?
Questa?
$f : RR -> RR$ , $x \in RR --> |x|$?
Si , questa non è derivabile in $0$. Però nota che è continua in ogni suo punto.
Nota però l'un'altra cosa,
Se hai $f : A --> RR$ con $A sube RR$ . E $x_0 \in RR$
Per parlare di derivabilità deve verificarsi che
1)$x_0 \in A$
2) $X_0$ ia un punto di accumulazione per $A$.
Ad esempio se hai la funzione reale a variabile reale
$f(x) = x$ se $x \in [0,1]$ e $1$ se $x = 2$.
$2$ è un punto isolato. Hai che $f$ in quel punto è continua. Ma Non puoi considerare ne limite e ne derivata, in quel punto
Questa?
$f : RR -> RR$ , $x \in RR --> |x|$?
Si , questa non è derivabile in $0$. Però nota che è continua in ogni suo punto.
Nota però l'un'altra cosa,
Se hai $f : A --> RR$ con $A sube RR$ . E $x_0 \in RR$
Per parlare di derivabilità deve verificarsi che
1)$x_0 \in A$
2) $X_0$ ia un punto di accumulazione per $A$.
Ad esempio se hai la funzione reale a variabile reale
$f(x) = x$ se $x \in [0,1]$ e $1$ se $x = 2$.
$2$ è un punto isolato. Hai che $f$ in quel punto è continua. Ma Non puoi considerare ne limite e ne derivata, in quel punto
Grazie mille per le spiegazione ulteriori!
E mi dispiace se non mi esprimo in modo chiarissimo, con funzione segno intendevo quella che vale:
\begin{matrix} -1 & : & x < 0 \\ 0 & : & x = 0 \\ 1 & : & x > 0 \end{matrix}
In questo caso non è derivabile in zero ma ugualmente il limite dx e sx per 0 del rapporto incrementale sarebbe uguale no? O mi sono sbagliato io a fare i conti?
E mi dispiace se non mi esprimo in modo chiarissimo, con funzione segno intendevo quella che vale:
\begin{matrix} -1 & : & x < 0 \\ 0 & : & x = 0 \\ 1 & : & x > 0 \end{matrix}
In questo caso non è derivabile in zero ma ugualmente il limite dx e sx per 0 del rapporto incrementale sarebbe uguale no? O mi sono sbagliato io a fare i conti?
perché non è derivabile in $0$?
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