Derivabilità in più variabili

[enpires1]

Ciao a tutti! Devo risolvere questo esercizio, ma non mi è chiaro un punto
"Data la funzione $f(x,y) = x^2 log y + arctan(x+y)$, dopo averne trovato il dominio, verificare che è derivabile in tutti i punti del dominio e calcolare derivate parziali e gradiente"

Ora, il dominio non è un problema (pongo semplicemente $y > 0$ per via del logaritmo)
Le parziali mi vengono
$f_x(x,y) = 2xlogy + 1/(1+(x+y)^2)$ e
$f_y(x,y) = x^2/y + 1/(1+(x+y)^2)$
Quindi naturalmente il gradiente è
$\grad f(x,y) = (2xlogy + 1/(1+(x+y)^2), x^2/y + 1/(1+(x+y)^2))$
Ma quando mi chiede di verificare che sia derivabile in tutti i punti del dominio che devo fare?? Io al massimo ho pensato che affinchè sia derivabile in tutti i punti il dominio $S$ della derivata deve contenere il dominio $D$ della funzione... ovvero $D nn S = D$
Quindi, siccome le derivate parziali sono definite l'una per le $y > 0 $, l'altra per le $y != 0$ ho che il dominio delle derivate è $S' nn S'' = S = {y in RR | y > 0}$ che è uguale al dominio della funzione, quindi $S nn D = D = {y in RR | y > 0}$

[Ska1]

Io direi che nel dominio $D = {(x,y) \in RR^2 | y > 0}$ della funzione essa è differenziabile, poichè la funzione $C^1(D)$ (cioè esistono tutte le derivate parziali e sono continue), quindi essendo differenziabile esistono tutte le derivate direzionali che si trovano come ${df}/{d \vec{v}} = \nabla f \cdot \vec{v}$, e quindi è derivabile.