Derivabilità in $CC$

[Fingolfin]

Salve, studiando analisi complessa mi è venuto un dubbio sulla definizione di derivabilità in senso complesso.
L'enunciato dato a lezione è:
"Condizione necessaria e sufficiente affinché $f$ risulti derivabile in $z in CC$ è che esistano le derivate parziali prime continue di $f$ in $z$ e che si abbia:

$(delf)/(delx) = -i (delf)/(dely)$ "
Tuttavia in $RR^N$ si ha una proposizione che definisce la differenziabilità di $f$ in un punto del domnio chiedendo che sia continua nel punto e che esistano le derivate parziali continue nel punto. Qui non si richiedono particolare relazioni tra le derivate parziali.
La derivabilità data sopra ha senso solo in $CC$ oppure ne esiste una analoga per $RR^N$ oltre a quella di differenziabilità, che mi sembra di capire sia una cosa diversa?

[gugo82]

La derivabilità in senso complesso è molto diverso dalla differenziabilità reale... Anzi la prima è una condizione incomparabilmente più forte della seconda.

Continua a studiare un altro po' e vedrai che le funzioni derivabili in senso complesso dentro una regione aperta sono addirittura di classe \(C^\infty\) lì dentro; cosa che non accade mai per le funzioni reali.

[Fingolfin]

cioè sono olomorfe.
E' come pensavo, grazie mille