Derivabilità funzione integrale dipendente da un parametro

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Salve, devo provare che la seguente funzione è differenziabile: $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ tale che
$f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)=\int_{-a}^a(g(t)cos(tx)-g(t)sin(tx))e^{-ty}dt+i\int_{-a}^a(g(t)cos(tx)+g(t)sin(tx))e^{-ty}dt$
dove $g\in L^1(\mathbb{R})$ a supporto compatto.
Per applicare il passaggio a limite sotto al segno di integrale devo provare ad esempio, nel primo integrale, che il valore assoluto della derivata parziale dell'integranda è maggiorato da una funzione $L^1(\mathbb{R})$.

Tuttavia l'unica cosa che riesco a fare è che se $-a\leq t\leq a$, allora

$|-t| |(g(t)cos(tx)-g(t)sin(tx))e^{-ty}|\leq2|a g(t)| e^{ay}$

Non riesco a sganciarmi dalla dipendenza di $y$, come posso fare a dimostrare il passaggio a limite sotto all'integrale? Ci sino teoremi che contemplano questo caso?Visto che ciò mi serve per provare le equazioni di Cauchy-Riemann, pensavo che magari basta farlo localmente su compatti, dove riesco a sganciare la dipendenza da $y$, e quindi procedere così ottenendo che su ogni compatto la funzione definita è differenziabile, tuttavia ho il presentimento che questa procedura non vada bene.

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Ho trovato un altro teorema che mi dice che se l'integranda è continua con derivate continue allora vale il passaggio a limite sotto al segno di integrale quando integro su compatti. Forse vista l'impossibilità di applicare il precedente devo usare questo.
Ora devo studiare come poterlo applicare, aggiungo il fatto che la $g$ è definita come trasformata di Fourier di una funzione continua e $L^2$, quindi la $g$ stessa è anche $L^2$, ma credo che nemmeno questo porti a nulla visto che non c'è modo di dimostrare che $g$ è continua. Sapete se esiste un teorema per cui è sufficiente maggiorare il valore assoluto dell'integranda e della sua derivata col prodotto di una funzione sommabile e una continua?