Derivabilità funzione due variabili
Ho la seguente funzione di due variabili della quale devo studiare continuità, derivabilità, differenziabilità:
[tex]f(x,y)= \frac{x^2y(3+y)}{x^2+y^2}[/tex]
con:
[tex](x,y) \neq (0,0)[/tex]
[tex]f(x,y)=0[/tex] per [tex](x,y)=(0,0)[/tex]
La funzione è continua in [tex]R^2[/tex] escluso il punto [tex](0,0)[/tex] poichè rapporto di polinomi, inoltre utilizzando le coordinate polari si vede che è continua anche nel punto [tex](0,0)[/tex]. Calcolando le derivate parziali si ha:
[tex]fx(x,y)=\frac{2xy^3(3+y}{(x^2+y^2)^2}[/tex]
[tex]fy(x,y)=\frac{3x^4-3x^{2}y^2+2x^{4}y}{(x^2+y^2)^2}[/tex]
Le quali esistono in [tex]R^2[/tex] escluso il punto [tex](0,0)[/tex] e nelle soluzioni c'è scritto:
[tex]fx(0,0)=\lim_{t\to0} \frac {f(t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{x\to0} \frac{0}{t}=0[/tex]
[tex]fy(0,0)=\lim_{t\to0} \frac {f(0,t)-f(0,0)}{t}=\lim_{x\to0} \frac{0}{t}=0[/tex]
Quindi le derivate parziali esistono in tutto [tex]R^2[/tex].
Il mio dubbio è ma i due limiti non dovrebbero avere come risultato la forma indeterminata [tex]\frac{0}{0}[/tex]?
Perchè poi nelle soluzioni ovviamente c'è scritto che la funzione è differenziabile in [tex]R^2[/tex] escluso il punto [tex](0,0)[/tex] del quale poi si calcola la continuità delle derivate parziali. Però appunto i limiti non dovrebbero avere come risultato una forma indeterminata e quindi di conseguenza la funzione non dovrebbe essere non differenziabile nel punto [tex](0,0)[/tex]?
[tex]f(x,y)= \frac{x^2y(3+y)}{x^2+y^2}[/tex]
con:
[tex](x,y) \neq (0,0)[/tex]
[tex]f(x,y)=0[/tex] per [tex](x,y)=(0,0)[/tex]
La funzione è continua in [tex]R^2[/tex] escluso il punto [tex](0,0)[/tex] poichè rapporto di polinomi, inoltre utilizzando le coordinate polari si vede che è continua anche nel punto [tex](0,0)[/tex]. Calcolando le derivate parziali si ha:
[tex]fx(x,y)=\frac{2xy^3(3+y}{(x^2+y^2)^2}[/tex]
[tex]fy(x,y)=\frac{3x^4-3x^{2}y^2+2x^{4}y}{(x^2+y^2)^2}[/tex]
Le quali esistono in [tex]R^2[/tex] escluso il punto [tex](0,0)[/tex] e nelle soluzioni c'è scritto:
[tex]fx(0,0)=\lim_{t\to0} \frac {f(t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{x\to0} \frac{0}{t}=0[/tex]
[tex]fy(0,0)=\lim_{t\to0} \frac {f(0,t)-f(0,0)}{t}=\lim_{x\to0} \frac{0}{t}=0[/tex]
Quindi le derivate parziali esistono in tutto [tex]R^2[/tex].
Il mio dubbio è ma i due limiti non dovrebbero avere come risultato la forma indeterminata [tex]\frac{0}{0}[/tex]?
Perchè poi nelle soluzioni ovviamente c'è scritto che la funzione è differenziabile in [tex]R^2[/tex] escluso il punto [tex](0,0)[/tex] del quale poi si calcola la continuità delle derivate parziali. Però appunto i limiti non dovrebbero avere come risultato una forma indeterminata e quindi di conseguenza la funzione non dovrebbe essere non differenziabile nel punto [tex](0,0)[/tex]?
Risposte
Quando calcoli un limite, prima si scrive per bene la funzione e poi si fa il passaggio al limite. In questo caso, sostituendo i valori, entrambi i rapporti incrementali risultano nulli e il limite della funzione nulla è sempre zero.
Scusate, ho anchio lo stesso identico dubbio.
In che senso "prima sostituisci il valore"? Se io sostituisco (0,0) nella funzione ottengo 0/0.
quindi il limite diventa
$ lim (f(t,0)-0/0 ) /t $
e non capisco perchè dunque il numeratore dovrebbe essere uguale a 0 con tutta questa ovvietà.
In che senso "prima sostituisci il valore"? Se io sostituisco (0,0) nella funzione ottengo 0/0.
quindi il limite diventa
$ lim (f(t,0)-0/0 ) /t $
e non capisco perchè dunque il numeratore dovrebbe essere uguale a 0 con tutta questa ovvietà.
"pollo93":
Scusate, ho anchio lo stesso identico dubbio.
In che senso "prima sostituisci il valore"? Se io sostituisco (0,0) nella funzione ottengo 0/0.
quindi il limite diventa
$ lim (f(t,0)-0/0 ) /t $
e non capisco perchè dunque il numeratore dovrebbe essere uguale a 0 con tutta questa ovvietà.
Quanto vale $f(0,0)$?
0!!! Perchè lo dice l'esercizio all'inizio!!!!!!
Ci credi che ci ho perso le ore?
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