Derivabilità Funzione a due variabili

[giuppyru-votailprof]

Salve ragazzi devo calcolare la derivabilità della seguente funzione :

$f(x,y)=root(3)(x^2(y-1))+1$

So che il dominio è $R^2$ so che devo calcolare la derivata in un punto qualsiasi , ma come ?

[Mathcrazy]

"Josephine":
So che il dominio è $R^2$ so che devo calcolare la derivata in un punto qualsiasi , ma come ?

Una funzione si dice derivabile se esistono finite le due derivate parziali (rispetto a $x$ e $y$) in ogni punto in cui è definita la funzione.

Tu calcolale in generale,rispetto a $x$ e rispetto a $y$ e poi discuti ciò che ottieni: cioè verifica se sono definite in $R^2$, o meno.
Se lo sono, allora la funzione è derivabile.

[giuppyru-votailprof]

Allora , calcolando le due derivate parziali ottengo :

$f'_x(x,y)=(2x(y-1))/(3root(3)((x^2(y-1))^2))$ e $f'_y(x,y)=(x^2)/(3root(3)((x^2(y-1))^2))$

Queste due derivate sono anch'esse definite in tutto $R^2$ , quindi posso dire che la funzione è derivabile in tutto $R^2$ ?
o sbaglio qualcosa ?

[Gi81]

Attenzione... è vero che la radice è cubica, però hai anche un denominatore

[Mathcrazy]

"Josephine":Allora , calcolando le due derivate parziali ottengo :

$f'_x(x,y)=(2x(y-1))/(3root(3)((x^2(y-1))^2))$ e $f'_y(x,y)=(x^2)/(3root(3)((x^2(y-1))^2))$

Queste due derivate sono anch'esse definite in tutto $R^2$ , quindi posso dire che la funzione è derivabile in tutto $R^2$ ?
o sbaglio qualcosa ?

Sicura che siano definite in tutto $R^2$?

prova a sostituire $x=0$ o $y=1$.

[giuppyru-votailprof]

Si si avete ragione ho commesso un errore, le due derivate sono definite in tutto $R^2$ $-{0,1}$.
Quindi ? cosa posso dire sulla derivabilità ?

[Camillo]

Attenzione è una funzione di due variabili : non è corretto dire che la funzione è derivabile in tutto $RR^2 -(0,1)$ ma in tutto $RR^2 $ eccetto le rette di equazione $ x=0 ; y=1 $.

[giuppyru-votailprof]

Si giustissimo, quindi ora posso dire che la funzione è derivabile in tutto $R^2$ eccetto le rette di equazione $x=0$ e $y=1$ , giusto ? o devo fare altro ?

[Mathcrazy]

Se l'esercizio ti chiede se la funzione è derivabile in $R^2$, la risposta è NO, perchè hai trovato due luoghi di punti in cui non lo è: $x=0$ e $y=1$.

Se ti chiede di dire dove è derivabile, allora devi rispondere che è derivabile $AA (x,y) in R^2$ tale che $x!=0 ^^ y!=1 $