Derivabilita funzione a due variabili?
data la funzione, definita a pezzi:
$(xy)/(x^2+y^2)$ $(x,y)!=(0,0)$
$0$ $(x,y)=(0,0)$
devo dire se è differenziabile o meno in $(0,0)$,
la mia soluzione discosta da quella del libro.
per vedere se è continua in (0,0):
$(r^2*cosa*sena)/(r^2)$ per $r->0$ il limite è impossibile, gia qui potrei dire che non è differenziabile, giusto?
ma andiamo cma avanti sulle derivate, dove mi sorge il problema:
devata rispetto a x:
$(-2 y x^2)/(x^2+y^2)^2+y/(x^2+y^2)= (y^3-yx^2)/(x^2+y^2)^2$
rispetto a y:
$(-2 x y^2)/(x^2+y^2)^2+x/(x^2+y^2)=(x^3-xy^2)/(x^2+y^2)^2$
ora guardo il limite delle derivate , parziali se esiste finito allora è derivabile in (0,0):
$(r^3*sina-r*sina*r^2*(cosa)^2)/(r^2(cosa)^2+r^2(sina)^2)^2=( r^3(sina-sina(cosa)^2))/(r^4)=oo$
$(r^3cos^3-rcosar^2(sina)^2)/(r^2(cosa)^2+r^2(sina)^2)^2=(r^3(cosa-cosa*(sina^2)))/r^4=oo$
quindi non essendo finiti non è derivabile.
pero il libro mi scrive: la funzione non è continua nell'origine, sebbene sia derivabile in (0,0), non è ivi differenziabile
dove sbaglio, grazie a tutti.
$(xy)/(x^2+y^2)$ $(x,y)!=(0,0)$
$0$ $(x,y)=(0,0)$
devo dire se è differenziabile o meno in $(0,0)$,
la mia soluzione discosta da quella del libro.
per vedere se è continua in (0,0):
$(r^2*cosa*sena)/(r^2)$ per $r->0$ il limite è impossibile, gia qui potrei dire che non è differenziabile, giusto?
ma andiamo cma avanti sulle derivate, dove mi sorge il problema:
devata rispetto a x:
$(-2 y x^2)/(x^2+y^2)^2+y/(x^2+y^2)= (y^3-yx^2)/(x^2+y^2)^2$
rispetto a y:
$(-2 x y^2)/(x^2+y^2)^2+x/(x^2+y^2)=(x^3-xy^2)/(x^2+y^2)^2$
ora guardo il limite delle derivate , parziali se esiste finito allora è derivabile in (0,0):
$(r^3*sina-r*sina*r^2*(cosa)^2)/(r^2(cosa)^2+r^2(sina)^2)^2=( r^3(sina-sina(cosa)^2))/(r^4)=oo$
$(r^3cos^3-rcosar^2(sina)^2)/(r^2(cosa)^2+r^2(sina)^2)^2=(r^3(cosa-cosa*(sina^2)))/r^4=oo$
quindi non essendo finiti non è derivabile.
pero il libro mi scrive: la funzione non è continua nell'origine, sebbene sia derivabile in (0,0), non è ivi differenziabile
dove sbaglio, grazie a tutti.
Risposte
credo semplicemente
che ti sei confuso... in analisi due la differenziabilità è piu potente diella continuità e della derivabilità!
infatti se una funzione è differenziabile è continua a derivabile ma se questa nn è continua o non derivabile allora nn sarà differenziabile in quel punto.
la definizione di differenziabilità in un punto $P=(xi,yi)$
$f(xi +h,yi+k)= f(xi,yi) + fx(xi,yi)(x-xi)+fy(xi,yi)(y-yi) + R(h,k) con R(h,k)=o(h^2 + k^2)$
se già sai che nn è continua è inutile proseguire nella differezi!
spero di aver indovinato!
che ti sei confuso... in analisi due la differenziabilità è piu potente diella continuità e della derivabilità!
infatti se una funzione è differenziabile è continua a derivabile ma se questa nn è continua o non derivabile allora nn sarà differenziabile in quel punto.
la definizione di differenziabilità in un punto $P=(xi,yi)$
$f(xi +h,yi+k)= f(xi,yi) + fx(xi,yi)(x-xi)+fy(xi,yi)(y-yi) + R(h,k) con R(h,k)=o(h^2 + k^2)$
se già sai che nn è continua è inutile proseguire nella differezi!
spero di aver indovinato!
Mi sa che devi rivedere un po' i calcoli (soprattutto quando sommi le frazioni)...
$f(x,y)=(xy)/(x^2+y^2) quad$, $quad (\partial f)/(\partial x)(x,y)=y*(x^2+y^2-2x^2)/(x^2+y^2)^2=y*(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 quad$... etc.
$f(x,y)=(xy)/(x^2+y^2) quad$, $quad (\partial f)/(\partial x)(x,y)=y*(x^2+y^2-2x^2)/(x^2+y^2)^2=y*(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 quad$... etc.
il mio problema è che il libro mi dice che la funzione è derivabile, ma a me i conti non tornano.
i conti li ho controllati nuovamente ma non vedo errori neanche nella somma di frazioni. inoltre li ho fatti più volte e mi vengono sempre uguali, non so proprio dove sia l'errore.
grazie
"Gugo82":
Mi sa che devi rivedere un po' i calcoli (soprattutto quando sommi le frazioni)...
$f(x,y)=(xy)/(x^2+y^2) quad$, $quad (\partial f)/(\partial x)(x,y)=y*(x^2+y^2-2x^2)/(x^2+y^2)^2=y*(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 quad$... etc.
i conti li ho controllati nuovamente ma non vedo errori neanche nella somma di frazioni. inoltre li ho fatti più volte e mi vengono sempre uguali, non so proprio dove sia l'errore.
grazie
La funzine data sugli assi vale $0$ per cui è ovviamente parzialmente derivabile in $(0,0)$.
Se invece la calcolo sulla bisettrice del primo e terzo quadrante, essa vale $1/2$, tranne che in $(0,0)$ dove vale $0$. Quindi ristretta a questa retta non è continua e pertanto non è continua "come funzione di due variabili" in $(0,0)$. Pertanto enanche differenziabile.
Se invece la calcolo sulla bisettrice del primo e terzo quadrante, essa vale $1/2$, tranne che in $(0,0)$ dove vale $0$. Quindi ristretta a questa retta non è continua e pertanto non è continua "come funzione di due variabili" in $(0,0)$. Pertanto enanche differenziabile.
"Fioravante Patrone":
La funzine data sugli assi vale $0$ per cui è ovviamente parzialmente derivabile in $(0,0)$.
Se invece la calcolo sulla bisettrice del primo e terzo quadrante, essa vale $1/2$, tranne che in $(0,0)$ dove vale $0$. Quindi ristretta a questa retta non è continua e pertanto non è continua "come funzione di due variabili" in $(0,0)$. Pertanto enanche differenziabile.
il fatto della continuita mi è chiarissmo e mi è altrettanto chiaro che se una funzione non è continua in P allora non è certamente differenziabile in P. il problema è che il libro mi dice che la funzione anche se non è continua è comunque derivabile , ma a me non tornano i conti, almeno credo, i limiti mi vengono infiniti, no possible.
grazie mille
"df":
[quote="Fioravante Patrone"]La funzine data sugli assi vale $0$ per cui è ovviamente parzialmente derivabile in $(0,0)$.
il problema è che il libro mi dice che la funzione anche se non è continua è comunque derivabile , ma a me non tornano i conti, almeno credo, i limiti mi vengono infiniti, no possible.
[/quote]
Attenzione, leggi quello che scrivo prima di rispondermi
I limiti vengono infiniti sulle rette passanti dall'origine che non siano gli assi coordinati.
Tieni presente che questo è un esempio standard, che puoi trovare, sviscerato, in moltissimi libri di testo.
"Fioravante Patrone":
[quote="df"][quote="Fioravante Patrone"]La funzine data sugli assi vale $0$ per cui è ovviamente parzialmente derivabile in $(0,0)$.
il problema è che il libro mi dice che la funzione anche se non è continua è comunque derivabile , ma a me non tornano i conti, almeno credo, i limiti mi vengono infiniti, no possible.
[/quote]
Attenzione, leggi quello che scrivo prima di rispondermi
I limiti vengono infiniti sulle rette passanti dall'origine che non siano gli assi coordinati.
Tieni presente che questo è un esempio standard, che puoi trovare, sviscerato, in moltissimi libri di testo.[/quote]
hai perfettamente ragione, adesso ho capito, grazie mille
"Gugo82":
Mi sa che devi rivedere un po' i calcoli (soprattutto quando sommi le frazioni)...
$f(x,y)=(xy)/(x^2+y^2) quad$, $quad (\partial f)/(\partial x)(x,y)=y*(x^2+y^2-2x^2)/(x^2+y^2)^2=y*(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 quad$... etc.
Per la serie "La notte non porta consiglio"...
Avevi calcolato bene le due derivate imparziali (:-D); scusami df ho preso un abbaglio.
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