Derivabilità e valore assoluto
Posto un esercizio sul quale non riesco molto bene a ragionare...vi ringrazio per le eventuali dritte che mi darete..
f: R->R
Dire sotto quali ipotesi |f(x)| è derivabile per ogni x appartenente a R.
f: R->R
Dire sotto quali ipotesi |f(x)| è derivabile per ogni x appartenente a R.
Risposte
Inizia a considerare qualche caso concreto. $|x^2|$ è derivabile ovunque? E $|x^3|$? E $|x|$?
|x| non è derivabile..in zero c'è un punto angoloso..invece direi che le altre due sono derivabili..
Come tecnica farei limite delle derivate destra e sinistra per x che tende a zero, perché zero è il punto "incriminato".
Ma non riesco a estrapolare una regola generale.
Come tecnica farei limite delle derivate destra e sinistra per x che tende a zero, perché zero è il punto "incriminato".
Ma non riesco a estrapolare una regola generale.
Beh, io direi, tanto per cominciare: supponiamo che $f$ sia derivabile ovunque. Altrimenti è chiaro, può succedere di tutto.
Poi: sotto quali circostanze la $f$ inizia a darci problemi? Per esempio, una funzione derivabile che non si annulla mai ci dà problemi?
Ancora: abbiamo visto $|x|, |x^2|, |x^3|$. La prima funzione non è derivabile, le altre sì. Vuoi vedere che tutte le funzioni $|x^n|$ (e quindi anche tutte le $|(x-x_0)^n|$) sono derivabili ovunque?
Prova a rispondere a queste domande. Secondo me può essere una buona strada verso la soluzione.
Poi: sotto quali circostanze la $f$ inizia a darci problemi? Per esempio, una funzione derivabile che non si annulla mai ci dà problemi?
Ancora: abbiamo visto $|x|, |x^2|, |x^3|$. La prima funzione non è derivabile, le altre sì. Vuoi vedere che tutte le funzioni $|x^n|$ (e quindi anche tutte le $|(x-x_0)^n|$) sono derivabili ovunque?
Prova a rispondere a queste domande. Secondo me può essere una buona strada verso la soluzione.
Ti consiglio di ragionare tenendo presente le corrispondenti interpretazioni grafiche.
Supponiamo che f sia derivabile in R, la derivabilità di |f(x)| può cadere solo nei punti in cui f(x) si annulla .
Ora supponiamo che c sia un punto in cui f(x) si annulla .
Se $ f'(c)=0 $ (tangente orizzontale) allora |f(x)| è ancora derivabile in c, mentre se $ f'(c)!=0$ allora x=c è un punto in cui |f(x)| non è derivabile (punto angoloso).
Quindi, supposta f derivabile, |f(x)| è derivabile in R se e solo se ogni punto in cui f si annulla ha tangente orizzontale.
Supponiamo che f sia derivabile in R, la derivabilità di |f(x)| può cadere solo nei punti in cui f(x) si annulla .
Ora supponiamo che c sia un punto in cui f(x) si annulla .
Se $ f'(c)=0 $ (tangente orizzontale) allora |f(x)| è ancora derivabile in c, mentre se $ f'(c)!=0$ allora x=c è un punto in cui |f(x)| non è derivabile (punto angoloso).
Quindi, supposta f derivabile, |f(x)| è derivabile in R se e solo se ogni punto in cui f si annulla ha tangente orizzontale.
Siete stati molto chiari effettivamente...ringrazio entrambi per il vostro prezioso aiuto!
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