Derivabilità e limite della derivata

[Pierlu11]

Ho un dubbio sul seguente teorema:
"Sia $ f:[x_0;x_0+delta]->RR $ continua e derivabile in $ (x_0;x_0+delta) $ . Se esiste finito $ lim_{x->x_0}f'(x)=gamma $ , allora esiste finito $ lim_{x->x_0}(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=gamma $ cioè la funzione è derivabile a destra di $ x_0 $ "

La dimostrazione è la seguente: Per Lagrange $ EE cin(x_0;x):(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(c) $ ; se $ x->x_0 $ allora $ c->x_0 $ ; per ipotesi $ lim_[c->x_0]f'(c)=f'(x_0)=gamma $ allora $ lim_[x->x_0](f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=gamma $ .
Il mio dubbio è perché, allo stesso modo non posso dimostrare il viceversa (So che il viceversa non è vero ma c'è qualche considerazione che non faccio perché invertendo il teorema la dimostrazione viene analoga...)

[gugo82]

Non puoi mostrare che vale il viceversa perché esso non è vero.

Infatti, la funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} x^2\ \sin \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0 \\ 0 &\text{, se } x=0\end{cases}
\]
è derivabile in \(0\), perché calcolando esplicitamente si trova:
\[
0=\lim_{x\to 0} x\ \sin \frac{1}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = f^\prime (0)\; ;
\]
ma d'altra parte, per \(x\neq 0\) si ottiene:
\[
f^\prime (x) = 2x\ \sin \frac{1}{x} -\cos \frac{1}{x}
\]
ed è evidente che il:
\[
\lim_{x\to 0} f^\prime (x)
\]
non solo non è \(=f^\prime (0)\), ma addirittura non esiste.

La pseudo-dimostrazione che hai pensato fallisce perché non è vero che puoi trarre \(\lim_{x\to x_0} f^\prime (x)=\gamma\) dalla sola esistenza di alcuni punti \(c(x)\) tali che \(\lim_{x\to x_0} f^\prime (c(x))=\gamma\).

Per farti capire meglio con un esempio, proviamo a ragionare come proponi su una funzione particolare.
Sappiamo che \(\lim_{x\to +\infty} \sin n\pi =0\); ma allora, seguendo la tua linea, potremmo concludere che \(\lim_{x\to +\infty} \sin x=0\); ma questa cosa non sta né in cielo né in terra, come ben sai.