Derivabilità e limitatezza funzione in due variabili
Ciao! Ho due domande sui limiti in due variabili.
1) Prendiamo ad esempio la funzione $f_a(x,y)=log(1+|x^3y|)/(x^2+y^2)^a$ se $(x,y)!=0$ e $0$ in $(0,0)$. Mi si chiede di studiarne la derivabilità. La soluzione dovrebbe essere che la funzione è derivabile per $a<=3/2$. Ma per la derivata $f_x$ si ha $lim_(hrarr0)(f(h,0)-f(0,0))/h=0$ per ogni $a$ perché $log(1)=0$. Lo stesso vale per la derivata $f_y$. Quindi mi viene da concludere che la funzione sia derivabile per ogni $a$ e che $nablaf_a(0,0)=(0,0)$. Dove sbaglio?
2) L'altra domanda riguarda lo studio della limitatezza in una bolla. Ad esempio, data la funzione $f_a(x,y)=(|y|^asinxy)/(x^2+y^2)$ se $(x,y)!=0$ e $0$ in $(0,0)$, mi si chiede per quali $a$ la funzione risulta limitata nella bolla $B:={(x,y)inRR^2:x^2+y^2<=1}$. Come imposto il limite? Dovrei considerare sempre il limite $(x,y)rarr(0,0)$ e vedere per quali valori di $a$ il risultato è $<=1$?
Grazie a tutti in anticipo.
1) Prendiamo ad esempio la funzione $f_a(x,y)=log(1+|x^3y|)/(x^2+y^2)^a$ se $(x,y)!=0$ e $0$ in $(0,0)$. Mi si chiede di studiarne la derivabilità. La soluzione dovrebbe essere che la funzione è derivabile per $a<=3/2$. Ma per la derivata $f_x$ si ha $lim_(hrarr0)(f(h,0)-f(0,0))/h=0$ per ogni $a$ perché $log(1)=0$. Lo stesso vale per la derivata $f_y$. Quindi mi viene da concludere che la funzione sia derivabile per ogni $a$ e che $nablaf_a(0,0)=(0,0)$. Dove sbaglio?
2) L'altra domanda riguarda lo studio della limitatezza in una bolla. Ad esempio, data la funzione $f_a(x,y)=(|y|^asinxy)/(x^2+y^2)$ se $(x,y)!=0$ e $0$ in $(0,0)$, mi si chiede per quali $a$ la funzione risulta limitata nella bolla $B:={(x,y)inRR^2:x^2+y^2<=1}$. Come imposto il limite? Dovrei considerare sempre il limite $(x,y)rarr(0,0)$ e vedere per quali valori di $a$ il risultato è $<=1$?
Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
Per la 1) sicuramente ti si chiede di studiare la derivabilità in 0 lungo tutte le direzioni, e non solo lungo gli assi coordinati.
Per la 2), nota che \(f_a\) è una funzione continua nel cerchio\(^{[1]}\) salvo al più nell'origine. Quindi, se il limite nell'origine esiste finito, la funzione è limitata. (Non è necessario che il limite sia minore di 1, non so da dove ti sia venuta questa idea). Se il limite è \(\pm \infty\), no. Se il limite non esiste tocca ragionare lungo le varie direzioni e il discorso è più sottile.
---
[1] Il termine "bolla" è un francesismo che non amo molto. E poi siamo in due dimensioni, quello è un cerchio, fin dai tempi delle elementari.
Per la 2), nota che \(f_a\) è una funzione continua nel cerchio\(^{[1]}\) salvo al più nell'origine. Quindi, se il limite nell'origine esiste finito, la funzione è limitata. (Non è necessario che il limite sia minore di 1, non so da dove ti sia venuta questa idea). Se il limite è \(\pm \infty\), no. Se il limite non esiste tocca ragionare lungo le varie direzioni e il discorso è più sottile.
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[1] Il termine "bolla" è un francesismo che non amo molto. E poi siamo in due dimensioni, quello è un cerchio, fin dai tempi delle elementari.
Ciao,
per la (1) quindi dovrei risolvere questo limite: $lim_(hrarr0) (f(tv_1, tv_2)-f(0,0))/t=lim_(hrarr0) (f(tv_1, tv_2))/t$, ovvero trovare i valori di $a$ per cui esiste finito. Risolvendo effettivamente ottengo $f_a∼t^3/t^(2a)(v_1^3v_2)/(v_1^2+v_2^2)^a$ che esiste finito sse $a<=3/2$...
per la (2) invece dicevo che il risultato deve essere $<=1$ per una infelice coincidenza, ovvero che risolvendo si arriva a dover trovare quando $rho^(text(qualcosa))$ è finito, e visto che $rhorarr0$ il risultato può praticamente essere solo $0$ o $1$...
grazie per la risposta.
per la (1) quindi dovrei risolvere questo limite: $lim_(hrarr0) (f(tv_1, tv_2)-f(0,0))/t=lim_(hrarr0) (f(tv_1, tv_2))/t$, ovvero trovare i valori di $a$ per cui esiste finito. Risolvendo effettivamente ottengo $f_a∼t^3/t^(2a)(v_1^3v_2)/(v_1^2+v_2^2)^a$ che esiste finito sse $a<=3/2$...
per la (2) invece dicevo che il risultato deve essere $<=1$ per una infelice coincidenza, ovvero che risolvendo si arriva a dover trovare quando $rho^(text(qualcosa))$ è finito, e visto che $rhorarr0$ il risultato può praticamente essere solo $0$ o $1$...
grazie per la risposta.
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