Derivabilità e F(x)=|x|
Carissimi,
vi pongo un caso sicuramente semplicissimo, ma che per qualche motivo mi sfugge:
dice il saggio : " se una funzione è derivabile allora "$lim[f(x+h)-f(x)]/h$" per h-->0 è uguale alla derivata nel punto x"
tutto ok, semplice e chiaro anche il significato geometrico.
Ora il prof sagace ci fa un simpatico esempio
"vedete, la funzione $f(x)=|x|$ non è derivabile nel punto 0, dato che $[|0+h|-|0|]/h=|h|/h$ e per h-->0 questo non ha limite in quanto se facciamo la derivata per h-->0+ o 0- vediamo che viene +1 e -1.
Ok, chiaro,no?
Poi esordisce: beh, pero se fate la derivata in pu punto positivo vi verra 1, e se la fate in un punto negativo vi verrà -1!
Sembra chiaro....... ma, facendolo.... es x=3
$[|3+h|-|3|]/h = |h|/h$ per h-->0 ma non siamo nel caso precedente?
e anche con un numero negativo (es x=-3) che dovrebbe venire chiaramente -1 viene come sopra......
^^ scusate le castronerie eventuali
vi pongo un caso sicuramente semplicissimo, ma che per qualche motivo mi sfugge:
dice il saggio : " se una funzione è derivabile allora "$lim[f(x+h)-f(x)]/h$" per h-->0 è uguale alla derivata nel punto x"
tutto ok, semplice e chiaro anche il significato geometrico.
Ora il prof sagace ci fa un simpatico esempio
"vedete, la funzione $f(x)=|x|$ non è derivabile nel punto 0, dato che $[|0+h|-|0|]/h=|h|/h$ e per h-->0 questo non ha limite in quanto se facciamo la derivata per h-->0+ o 0- vediamo che viene +1 e -1.
Ok, chiaro,no?
Poi esordisce: beh, pero se fate la derivata in pu punto positivo vi verra 1, e se la fate in un punto negativo vi verrà -1!
Sembra chiaro....... ma, facendolo.... es x=3
$[|3+h|-|3|]/h = |h|/h$ per h-->0 ma non siamo nel caso precedente?
e anche con un numero negativo (es x=-3) che dovrebbe venire chiaramente -1 viene come sopra......
^^ scusate le castronerie eventuali
Risposte
E chi ti dice che $|h+3|-|3|=|h|$?... Prendi $h$ negativo e vedi come questa scrittura è sbagliata...
è propio qua il punto, ma h essendo una distanza, un pò come un delta non dovrebbe essere sempre positivo?e in base a cosa lo suppongo negativo? nn capisco come possa venirmi quel limite =1 nel aso di x=3 e -1 nel caso di x=-3... mea culpa!
Una funzione è derivabile se i limiti del rapporto incrementale, destro e sinistro, sono uguali; devono essere uguali per $h \rightarrow 0^+$ e per $h \rightarrow 0^-$ (ma se $h$ tende a $0^-$, allora è negativo). $h$, più che una distanza, è un incremento.
$|3+h|=3+h$.
$|-3+h|=3-h$.
Sostituisci e i conti tornano.
$|-3+h|=3-h$.
Sostituisci e i conti tornano.
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