Derivabilità e differenziabilità in $RR$
Nel caso di funzioni $RR->RR^m$ le nozioni di derivabilità e di differenziabilità coincidono.
Una funzione $f:RR->RR^m,x->(f_1(x),...,f_m(x))$ è derivabile in $x_0$ se esistono le tutte derivate $(delf_1)/(delx)(x_0),...,(delf_m)/(delx)(x_0)$, dunque se esiste $lim_(t->0)(f_i(x_0+t)-f_i(x_0))/t$ $AA1<=i<=m$.
$f$ è differenziabile in $x_0$ se esiste una trasformazione lineare $T:RR->RR^m$ tale che $lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0)-T(x-x_0))/|x-x_0|=0$
Come posso provare ad esempio che $"derivabilità"->"differenziabilità"$?
Una funzione $f:RR->RR^m,x->(f_1(x),...,f_m(x))$ è derivabile in $x_0$ se esistono le tutte derivate $(delf_1)/(delx)(x_0),...,(delf_m)/(delx)(x_0)$, dunque se esiste $lim_(t->0)(f_i(x_0+t)-f_i(x_0))/t$ $AA1<=i<=m$.
$f$ è differenziabile in $x_0$ se esiste una trasformazione lineare $T:RR->RR^m$ tale che $lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0)-T(x-x_0))/|x-x_0|=0$
Come posso provare ad esempio che $"derivabilità"->"differenziabilità"$?
Risposte
Se \(f\) è derivabile in \(x_0\), ogni sua componente lo è; quindi ogni componente è differenziabile in \(x_0\), in quanto funzione di una varibile.
Detti \(\alpha_i\) i valori delle derivate prime \(f_i^\prime (x_0)\), il limite:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0} &\frac{|f(x)-f(x_0)- (x-x_0)\cdot (\alpha_1,\ldots ,\alpha_m)|}{|x-x_0|} \\
&=\lim_{x\to x_0} \sqrt{ \left( \frac{f_1(x)-f_1(x_0)- \alpha_1\ (x-x_0)}{x-x_0}\right)^2 +\cdots + \left( \frac{f_m(x)-f_m(x_0)- \alpha_m\ (x-x_0)}{x-x_0}\right)^2} \\
&= 0
\end{split}
\]
Detti \(\alpha_i\) i valori delle derivate prime \(f_i^\prime (x_0)\), il limite:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0} &\frac{|f(x)-f(x_0)- (x-x_0)\cdot (\alpha_1,\ldots ,\alpha_m)|}{|x-x_0|} \\
&=\lim_{x\to x_0} \sqrt{ \left( \frac{f_1(x)-f_1(x_0)- \alpha_1\ (x-x_0)}{x-x_0}\right)^2 +\cdots + \left( \frac{f_m(x)-f_m(x_0)- \alpha_m\ (x-x_0)}{x-x_0}\right)^2} \\
&= 0
\end{split}
\]
D'accordo quindi costruisco il differenziale di $f$ in $x_0$ come $T=(f_1'(x_0),...,f_m'(x_0))$.
Ma perchè $lim_(x->x_0)(f_i(x)-f_i(x_0)-f_i'(x_0)(x-x_0))/|x-x_0|=0$?
Tu hai messo una norma assoluta al numeratore che io non ho, mettendo quella sono d'accordo con te ma nella mia definizione di differenziale questa norma non compare.
Ma perchè $lim_(x->x_0)(f_i(x)-f_i(x_0)-f_i'(x_0)(x-x_0))/|x-x_0|=0$?
Tu hai messo una norma assoluta al numeratore che io non ho, mettendo quella sono d'accordo con te ma nella mia definizione di differenziale questa norma non compare.
Se la norma ha limite $0$, l'argomento ha limite il vettore nullo $\bb{0}$. Giusto?
Si è vero, ma c'è un modo per mostrarlo senza dover passare per la norma anche al numeratore?
Se invece suppongo $f:RR->RR^m$ differenziabile in $x_0$ posso ripercorrere i passaggi di gugo per concludere che $lim_(x->x_0)(f_i(x)-f_i(x_0)-alpha_i(x-x_0))/(x-x_0)=0$ da cui $lim_(x->x_0)(f_i(x)-f_i(x_0))/(x-x_0)-alpha_i=0$ da cui deduco che esistono tutti i limiti $lim_(x->x_0)(f_i(x)-f_i(x_0))/(x-x_0)=alpha_i$ $AA1<=i<=m$ che formano quindi il vettore $f'(x_0)$ giusto?
Se invece suppongo $f:RR->RR^m$ differenziabile in $x_0$ posso ripercorrere i passaggi di gugo per concludere che $lim_(x->x_0)(f_i(x)-f_i(x_0)-alpha_i(x-x_0))/(x-x_0)=0$ da cui $lim_(x->x_0)(f_i(x)-f_i(x_0))/(x-x_0)-alpha_i=0$ da cui deduco che esistono tutti i limiti $lim_(x->x_0)(f_i(x)-f_i(x_0))/(x-x_0)=alpha_i$ $AA1<=i<=m$ che formano quindi il vettore $f'(x_0)$ giusto?
@ thedarkhero: Bisogna innanzitutto concordare sulle definizioni.
Per quel che mi riguarda, una funzione \(f:\mathbb{V}\to \mathbb{W}\) tra due spazi vettoriali normati (non aventi necessariamente dimensione finita) è differenziabile in \(x_0\in \mathbb{V}\) se esiste un operatore lineare continuo \(T_{x_0}\mathbb{W}\to \mathbb{W}\) tale che:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{\| f(x)-f(x_0)-T_{x_0}(x-x_0)\|_{\mathbb{W}}}{\| x-x_0\|_{\mathbb{V}}} = 0\; ,
\]
ove ovviamente \(\| \cdot \|_{\mathbb{V}}\) e \(\| \cdot \|_{\mathbb{W}}\) sono, rispettivamente, la norma di \(\mathbb{V}\) e quella di \(\mathbb{W}\) (questa è la cosiddetta differenziabilità a là Fréchet).
Per quel che mi riguarda, una funzione \(f:\mathbb{V}\to \mathbb{W}\) tra due spazi vettoriali normati (non aventi necessariamente dimensione finita) è differenziabile in \(x_0\in \mathbb{V}\) se esiste un operatore lineare continuo \(T_{x_0}\mathbb{W}\to \mathbb{W}\) tale che:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{\| f(x)-f(x_0)-T_{x_0}(x-x_0)\|_{\mathbb{W}}}{\| x-x_0\|_{\mathbb{V}}} = 0\; ,
\]
ove ovviamente \(\| \cdot \|_{\mathbb{V}}\) e \(\| \cdot \|_{\mathbb{W}}\) sono, rispettivamente, la norma di \(\mathbb{V}\) e quella di \(\mathbb{W}\) (questa è la cosiddetta differenziabilità a là Fréchet).
Sisi, su diversi testi ho trovato questa che hai riportato.
Durante il corso però mi è stata presentata senza la norma al numeratore, di conseguenza il limite deve essere uguale a $0_WW$ e non a $0_RR$.
In ogni caso per uniformarci consideriamo la classica definizione che hai dato tu.
Per provare che $"differenziabilità"->"derivabilità"$ proponevo la strada seguente.
Dalla relazione che hai scritto tu $lim_(x->x_0)|f(x)-f(x_0)-T(x-x_0)|/|x-x_0|=lim_(x->x_0)(\sum_{i=1}^m ((f_i(x)-f_i(x_0)-T_i(x-x_0))/(x-x_0))^2)^(1/2)=0$
ricavo che $lim_(x->x_0)(f_i(x)-f_i(x_0)-T_i(x-x_0))/(x-x_0)=0$ ovvero che $lim_(x->x_0)(f_i(x)-f_i(x_0))/(x-x_0)=T_i$ e dunque esiste la derivata di ogni singola funzione coordinata, cioè $f'(x_0)$ ed è uguale a $T=df(x_0)$.
Può andare?
Durante il corso però mi è stata presentata senza la norma al numeratore, di conseguenza il limite deve essere uguale a $0_WW$ e non a $0_RR$.
In ogni caso per uniformarci consideriamo la classica definizione che hai dato tu.
Per provare che $"differenziabilità"->"derivabilità"$ proponevo la strada seguente.
Dalla relazione che hai scritto tu $lim_(x->x_0)|f(x)-f(x_0)-T(x-x_0)|/|x-x_0|=lim_(x->x_0)(\sum_{i=1}^m ((f_i(x)-f_i(x_0)-T_i(x-x_0))/(x-x_0))^2)^(1/2)=0$
ricavo che $lim_(x->x_0)(f_i(x)-f_i(x_0)-T_i(x-x_0))/(x-x_0)=0$ ovvero che $lim_(x->x_0)(f_i(x)-f_i(x_0))/(x-x_0)=T_i$ e dunque esiste la derivata di ogni singola funzione coordinata, cioè $f'(x_0)$ ed è uguale a $T=df(x_0)$.
Può andare?
Forse ho trovato una soluzione piu' elegante per dimostrare che $"differenziabilita"->"'derivabilita"$'.
Utilizzo la caratterizzazione della differenziabilita' che mi garantische che se $f$ e'differenziabile in $x_0$ allora esistono una trasformazione lineare $T$ e una funzione $E_(x_0)$ tali che $f(x)=f(x_0)+T(x-x_0)+E_(x_0)(x)$ e $E_(x_0)(x)=o(|x-x_0|)$,$x->x_0$.
Sia $f$ differenziabile in $x_0$ e chiamo $df(x_0)$ il suo differenziale.
$(delf)/(delx)(x_0)=lim_(t->0)(f(x_0+t)-f(x_0))/t=lim_(t->0)(df(t)+E_(x_0)(x_0+t))/t=$
$df(x_0)+lim_(t->0)(E_(x_0)(x_0+t))/t=df(x_0)+lim_(x->x_0)(E_(x_0)(x))/|x-x_0|=df(x_0)$.
Dunque $f$ e'derivabile in $x_0$.
L'unico dubbio che ho e' sull'ultimo passaggio, dove nel limite passo dalla variabile $t$ alla variabile $x$ (in particolare perche' ho aggiunto un modulo al denominatore che non sono sicuro si potesse aggiungere cosi').
Cosa dite?
Utilizzo la caratterizzazione della differenziabilita' che mi garantische che se $f$ e'differenziabile in $x_0$ allora esistono una trasformazione lineare $T$ e una funzione $E_(x_0)$ tali che $f(x)=f(x_0)+T(x-x_0)+E_(x_0)(x)$ e $E_(x_0)(x)=o(|x-x_0|)$,$x->x_0$.
Sia $f$ differenziabile in $x_0$ e chiamo $df(x_0)$ il suo differenziale.
$(delf)/(delx)(x_0)=lim_(t->0)(f(x_0+t)-f(x_0))/t=lim_(t->0)(df(t)+E_(x_0)(x_0+t))/t=$
$df(x_0)+lim_(t->0)(E_(x_0)(x_0+t))/t=df(x_0)+lim_(x->x_0)(E_(x_0)(x))/|x-x_0|=df(x_0)$.
Dunque $f$ e'derivabile in $x_0$.
L'unico dubbio che ho e' sull'ultimo passaggio, dove nel limite passo dalla variabile $t$ alla variabile $x$ (in particolare perche' ho aggiunto un modulo al denominatore che non sono sicuro si potesse aggiungere cosi').
Cosa dite?
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