Derivabilità e differenziabilità

[manuxy84]

Ciao a tutti.
Ho questo esercizio:
$f(x,y) = {((2*sinx + y^2)/(x^4+y^4)^alpha,if (x,y)!=0),(0,if (x,y)=0):}$

e devo trovare per quali valori di alpha la funzione è derivabile e differenziabile nell'origine.

Io farei così:

DERIVABILITA':

f è derivabile nell'origine se esistono tutte le sue derivate parziali, ovvero se esistono finiti i limiti
$lim_{x \to \0} (f(x,0)-f(0,0))/(x-0)$
$lim_{y \to \0} (f(0,y)-f(0,0))/(y-0)$


nel primo caso abbiamo
$f(x,0)={((2*sinx)/(|x|^(4*alpha)), if x!=0),(0,if x=0):}$
quindi
$lim_{x \to \0} (f(x,0)-f(0,0))/(x-0)= lim_{x \to \0} (((2*sinx)/(|x|^(4*alpha)))-0)/x ={(0, if alpha<0),(2, if alpha=0),(infty, if alpha>0):}$
ovvero $ f'_x(0,0)={(0, if alpha<0),(2, if alpha=0),(text{non esiste}, if alpha>0):}$


nel secondo caso abbiamo
$f(0,y)={(|y|^(2-4*alpha), if y!=0),(0,if y=0):}$
quindi
$lim_{y \to \0} (f(0,y)-f(0,0))/(y-0)= lim_{y \to \0}(|y|^(2-4*alpha)-0)/y ={(0, if alpha<1/4),(infty, if alpha>=1/4):}$
ovvero $ f'_y(0,0)={(0, if alpha<1/4),(text{non esiste}, if alpha>=1/4):}$


In definitiva f è derivabile per $alpha<=0$


DIFFERENZIABILITA'

f è differenziabile se le sue derivate parziali sono continue.

Per la derivata parziale rispetto ad $x$ dobbiamo vedere se $lim_{x\to\0}f(x,0)=f(0,0)=0$ :
$lim_{x\to\0}(2*sinx)/(|x|^(4*alpha))=0$ per $alpha<=0$

Per la derivata parziale rispetto ad $y$ dobbiamo vedere se $lim_{y\to\0}f(0,y)=f(0,0)=0$ :
$lim_{y\to\0}|y|^(2-4*alpha)=0$ per $alpha<1/4$

In definitiva f è differenziabile per $alpha<=0$

E' corretto? Come faccio invece a trovare i valori di alpha per cui la funzione è comtinua nell'origine?

Grazie

[walter891]

per stabilire la continuità nell'origine devi semplicemente calcolare il limite per $xto(0,0)$, sostituendo in coordinate polari dovrebbe riuscire facile

[manuxy84]

Grazie, proverò.

Qualcuno sa dirmi se il resto del procedimento è corretto?