Derivabilità e continuità della derivata
In questo periodo sto cercando di rifondare (nella mia testa si intende 
) le nozioni basilari di analisi matematica. Nel ripasso dei concetti di continuità e derivabilità mi è sorto tale interrogativo, che relazione intercorre tra derivabilità e continuità della derivata?
Mettiamoci in questo caso $f:\mathbb{R} \supset [a,b] \to \mathbb{R}$ tale che $f \in C^0([a,b])$.
Ragionando un po' empiricamente mi verrebbe da congetturare che se la funzione $f'$ è continua, o al più ha una discontinuità eliminabile, allora $f$ è derivabile in tutto l'intervallo $[a,b]$, ovvero $\exists f'(x) \ \ \forall x \in [a,b]$.
Questa malsana idea nasce osservando le funzioni non derivabili per antonomasia, come ad esempio $x \mapsto |x|$.
Mi aiutate a smontare, o (con poco probabilità) ad argomentare, tale congettura e a fare luce sulla relazione tra derivabilità e continuità della derivata?
Grazie
PS: Solo ora che ho finito di scrivere mi viene in mente che si potrebbe riformulare il tutto in termini di funzioni e primitive e forse il teorema fondamentale del calcolo potrebbe essere la chiave
) le nozioni basilari di analisi matematica. Nel ripasso dei concetti di continuità e derivabilità mi è sorto tale interrogativo, che relazione intercorre tra derivabilità e continuità della derivata?Mettiamoci in questo caso $f:\mathbb{R} \supset [a,b] \to \mathbb{R}$ tale che $f \in C^0([a,b])$.
Ragionando un po' empiricamente mi verrebbe da congetturare che se la funzione $f'$ è continua, o al più ha una discontinuità eliminabile, allora $f$ è derivabile in tutto l'intervallo $[a,b]$, ovvero $\exists f'(x) \ \ \forall x \in [a,b]$.
Questa malsana idea nasce osservando le funzioni non derivabili per antonomasia, come ad esempio $x \mapsto |x|$.
Mi aiutate a smontare, o (con poco probabilità) ad argomentare, tale congettura e a fare luce sulla relazione tra derivabilità e continuità della derivata?
Grazie
PS: Solo ora che ho finito di scrivere mi viene in mente che si potrebbe riformulare il tutto in termini di funzioni e primitive e forse il teorema fondamentale del calcolo potrebbe essere la chiave
Risposte
//
Si. A parte il fatto che vi è un errore di fondo, ovvero che in queste ipotesi non è detto che $f'(x)$ esista in ogni punto, riformulando in termini di primitiva non è altro che l'unione di due noti risultati dell'analisi, ovvero che $f \in C^0([a,b])$ implica che $f$ sia integrabile, e il celeberrimo teorema del calcolo che afferma che $F(x) = \int_a^x f(t)dt$.
In paratica ho detto una semi cagata, matematicamente parlando...
Detto ciò non saprei, sto rigirando attorno a questi concetti ma non ne ho la padronanza, sopratutto quando mi trovo davanti una funzione definita "a casi" o "a tratti" che a dir si voglia
Forse è meglio che espongo direttamente le mie perlessità senza giocare a fare il piccolo Weierstrass 
In paratica ho detto una semi cagata, matematicamente parlando...
Detto ciò non saprei, sto rigirando attorno a questi concetti ma non ne ho la padronanza, sopratutto quando mi trovo davanti una funzione definita "a casi" o "a tratti" che a dir si voglia
Forse è meglio che espongo direttamente le mie perlessità senza giocare a fare il piccolo Weierstrass
Non so se ho capito bene cosa riguarda la tua richiesta... provo lo stesso a darti una risposta che spero ti possa chiarire le idee...
Il fatto che $ f'(x) $ continua in ogni $ x_0in[a;b] $ $ rArrEEf'(x_0)AAx_0in[a;b] $ è vero e per dimostrarlo basta utilizzare il teorema di De L'hopital: $ lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0) $ esiste se esiste $ lim_(x->x_0)(f'(x))/(1)=lim_(x->x_0)f'(x)=f(x_0) $, il che è vero perché $ f'(x) $ è continua per ipotesi. Inoltre il valore del limite di partenza è lo stesso, cioè esiste finito il limite del rapporto incrementale (è derivabile)...
Non è detto che sia vero il viceversa...
Per quanto riguarda la discontinuità, una funzione che è la derivata di un'altra non penso possa avere una discontinuità di terza specie... per la definizione di derivata non ha molto senso...
Il fatto che $ f'(x) $ continua in ogni $ x_0in[a;b] $ $ rArrEEf'(x_0)AAx_0in[a;b] $ è vero e per dimostrarlo basta utilizzare il teorema di De L'hopital: $ lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0) $ esiste se esiste $ lim_(x->x_0)(f'(x))/(1)=lim_(x->x_0)f'(x)=f(x_0) $, il che è vero perché $ f'(x) $ è continua per ipotesi. Inoltre il valore del limite di partenza è lo stesso, cioè esiste finito il limite del rapporto incrementale (è derivabile)...
Non è detto che sia vero il viceversa...
Per quanto riguarda la discontinuità, una funzione che è la derivata di un'altra non penso possa avere una discontinuità di terza specie... per la definizione di derivata non ha molto senso...
Ripeto: l'idea malsana è
?
Se la risposta è ancora sì e mi confermi che non ci sono errori di battitura, allora la semi cagata non è quello che hai detto, ma pensare che ciò che hai detto sia una semi cagata (parlo di ciò che ho quotato) Quello che hai detto non solo è verissimo, ma anche ovvio: quando dici che $f'$ è continua in $[a,b]$ stai anzitutto ammettendo l'esistenza di $f'$ in $[a,b]$, dunque è ovvio che $f$ è derivabile in tutto $[a,b]$. Se invece dici che $f'$ ha solo una discontinuità eliminabile, diciamo in $x_0\in [a,b]$, mentre è continua altrove, sicuramente $f$ è derivabile in $[a,b]\setminus \{x_0\}$; che $f$ sia o meno derivabile in $x_0$ dipende da ciò che s'intende per discontinuità eliminabile[nota]Per me \[f(x)=
\begin{cases}
1 & \text{se}\ x\ne 0\\
0 & \text{se}\ x=0
\end{cases}
\]
ha una discontinuità eliminabile in $x=0$, mentre
\[g:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R}\qquad g(x)=1,\ \forall x\]
non ce l'ha.[/nota].
Non ho capito cosa c'entrano integrali e primitive ad ogni modo.
Ciao
PS. Ho cancellato il post precedente perché per sbaglio avevo modificato quello anziché scriverne uno nuovo
"Emar":
se la funzione $f'$ è continua, o al più ha una discontinuità eliminabile, allora $f$ è derivabile in tutto l'intervallo $[a,b]$, ovvero $\exists f'(x) \ \ \forall x \in [a,b]$.
?
Se la risposta è ancora sì e mi confermi che non ci sono errori di battitura, allora la semi cagata non è quello che hai detto, ma pensare che ciò che hai detto sia una semi cagata (parlo di ciò che ho quotato)
Quello che hai detto non solo è verissimo, ma anche ovvio: quando dici che $f'$ è continua in $[a,b]$ stai anzitutto ammettendo l'esistenza di $f'$ in $[a,b]$, dunque è ovvio che $f$ è derivabile in tutto $[a,b]$. Se invece dici che $f'$ ha solo una discontinuità eliminabile, diciamo in $x_0\in [a,b]$, mentre è continua altrove, sicuramente $f$ è derivabile in $[a,b]\setminus \{x_0\}$; che $f$ sia o meno derivabile in $x_0$ dipende da ciò che s'intende per discontinuità eliminabile[nota]Per me \[f(x)=\begin{cases}
1 & \text{se}\ x\ne 0\\
0 & \text{se}\ x=0
\end{cases}
\]
ha una discontinuità eliminabile in $x=0$, mentre
\[g:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R}\qquad g(x)=1,\ \forall x\]
non ce l'ha.[/nota].
Non ho capito cosa c'entrano integrali e primitive ad ogni modo.
Ciao
PS. Ho cancellato il post precedente perché per sbaglio avevo modificato quello anziché scriverne uno nuovo
Ragazzi vi ringrazio per le risposte. Sono momentaneamente impegnato con altri esami, tornerò il prima possibile a rispondere
Eccomi qui dopo la maratona di esami settembrina
Aprii questa discussione spinto da problematiche simile a queste che sto tentando di riprendere e capire una volta per tutte.
Rileggendo ora il mio primo messaggio mi rendo conto dell'ovvietà ma anche del mezzo nonsense che ho scritto.
Volevo solo dire che esprimendomi in termini di derivate mi sono complicato la vita e per trasformare l'ovvietà scritta in qualcosa di sensato si può ricorrere al concetto di primitiva. Quando ho scritto il messaggio, e come mi avete giustamente fatto notare, mi resi conto che per parlare di derivata dovevo innanzi tutto ipotizzare che la funzione fosse derivabile, il che conduceva a privare le congettura di ogni senso matematico.
Potremmo approcciare il problema nei seguenti termini:
Così sembra più sensato e mi sembra sia una domanda pseudo-intelligente. Mi sbaglio ancora?
Io so che se una funzione è continua quasi-ovunque allora è Riemann integrabile, ma il teorema fondamentale del calcolo, che lega la primitiva all'integrale, richiede che la funzione sia $C^0(I)$ e quindi non credo si possa affermare quanto detto sopra.
A me sembra che questa cosa funzioni prendendo ad esempio la funzione gradino unitario (o funzione di Heaviside) $\Theta$. Essa è discontinua in $0$ eppure ammette primitiva ovunque, che è appunto $x \mapsto |x|$.
Anche in questo ragionamento so che potranno esserci delle imperfezioni, ma vi chiedo di passarci sopra e puntare all'idea di fondo.
Spero di non prendere un altro granchio avendo scritto un'altra costronata
Aprii questa discussione spinto da problematiche simile a queste che sto tentando di riprendere e capire una volta per tutte.
Rileggendo ora il mio primo messaggio mi rendo conto dell'ovvietà ma anche del mezzo nonsense che ho scritto.
"Plepp":
Non ho capito cosa c'entrano integrali e primitive ad ogni modo.
Volevo solo dire che esprimendomi in termini di derivate mi sono complicato la vita e per trasformare l'ovvietà scritta in qualcosa di sensato si può ricorrere al concetto di primitiva. Quando ho scritto il messaggio, e come mi avete giustamente fatto notare, mi resi conto che per parlare di derivata dovevo innanzi tutto ipotizzare che la funzione fosse derivabile, il che conduceva a privare le congettura di ogni senso matematico.
Potremmo approcciare il problema nei seguenti termini:
Sia $f: \mathbb{R} \sube I \to \mathbb{R}$ un funzione limitata discontinua al più in un numero finito di punti. Allora esiste, per ogni intervallo $I_{alpha}$ in cui $f$ è continua, una primitiva $F_{alpha}$ tale che $F_{alpha}'(x)=f_{alpha}(x)$ dove $dom(f_{alpha}) = I_{alpha}$. Il mio quesito credo fosse: esiste una primitiva "unica", ovvero una funzione $F$ tale che $F'(x) = f(x)$ in tutto l'intervallo in cui è definita la funzione $f$?
Così sembra più sensato e mi sembra sia una domanda pseudo-intelligente. Mi sbaglio ancora?
Io so che se una funzione è continua quasi-ovunque allora è Riemann integrabile, ma il teorema fondamentale del calcolo, che lega la primitiva all'integrale, richiede che la funzione sia $C^0(I)$ e quindi non credo si possa affermare quanto detto sopra.
A me sembra che questa cosa funzioni prendendo ad esempio la funzione gradino unitario (o funzione di Heaviside) $\Theta$. Essa è discontinua in $0$ eppure ammette primitiva ovunque, che è appunto $x \mapsto |x|$.
Anche in questo ragionamento so che potranno esserci delle imperfezioni, ma vi chiedo di passarci sopra e puntare all'idea di fondo.
Spero di non prendere un altro granchio avendo scritto un'altra costronata
Provo a fare una panoramica su questo tema sperando di inserire le risposte che cerchi...
Per prima cosa stiamo considerando funzioni definite su intervalli (requisito base per poter parlare di primitive) cioè funzioni del tipo $ f:Isube RR->RR $.
Supponiamo che la funzione sia discontinua al massimo in un'infinità numerabile di punti. Io direi che una primitiva "unica" (e per "unica" intendo definita su $ I $ e descritta da una sola espressione) non c'è...
Per essere definita in tutti i punti dell'intervallo le discontinuità possono essere solo di prima e/o terza specie, se fosse di prima specie la primitiva non sarebbe derivabile in quel punto e tale punto non apparterrebbe più all'intervallo di definizione della funzione (assurdo). Se fosse di terza specie la primitiva dovrebbe essere derivabile in quel punto (assurdo)...
Se può sembrare eccessivo chiedere che la primitiva sia definita su tutto $ I $ , quei punti di discontinuità di $ f $ sarebbero punti di non derivabilità per la primitiva... a quel punto nel derivare la possibile $ F $ si perderebbero...
Spero di essere stato chiaro...
Per prima cosa stiamo considerando funzioni definite su intervalli (requisito base per poter parlare di primitive) cioè funzioni del tipo $ f:Isube RR->RR $.
Supponiamo che la funzione sia discontinua al massimo in un'infinità numerabile di punti. Io direi che una primitiva "unica" (e per "unica" intendo definita su $ I $ e descritta da una sola espressione) non c'è...
Per essere definita in tutti i punti dell'intervallo le discontinuità possono essere solo di prima e/o terza specie, se fosse di prima specie la primitiva non sarebbe derivabile in quel punto e tale punto non apparterrebbe più all'intervallo di definizione della funzione (assurdo). Se fosse di terza specie la primitiva dovrebbe essere derivabile in quel punto (assurdo)...
Se può sembrare eccessivo chiedere che la primitiva sia definita su tutto $ I $ , quei punti di discontinuità di $ f $ sarebbero punti di non derivabilità per la primitiva... a quel punto nel derivare la possibile $ F $ si perderebbero...
Spero di essere stato chiaro...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo