Derivabilità e continuità con parametri
Buongiorno, ho un dubbio su un esercizio svolto riguardo lo studio di una funzione per casi.
La funzione incriminata è la seguente
$(x+1)^(1/3) if x<=2$
$|log(x-2)| if x>2$
Nello studio della derivabilità scrive: "Osserviamo anche che, per la continuità di f in R \{ 2 } e l’esistenza di f ′ in R \{− 1 , 2 , 3 } , il limite del rapporto incrementale in x_1 = − 1 e x_2 = 3 può essere ottenuto come limite di f ′ ( x ) nei punti corrispondenti."
Il problema è che nella teoria ho studiato che "se esiste finito il limite della derivata di una funzione continua allora la funzione è derivabile"
E il libro rimarca il fatto che sia una condizione sufficiente, ma non necessaria.
Non è quindi vero che: se non esiste il limite della derivata allora la funzione non è derivabile.
Eppure quest'ultima affermazione è proprio quella che applica nella risoluzione (al posto della valutazione del limite del rapporto incrementale), qualcosa non deve essermi chiaro.
Mi aiutereste a far chiarezza?
La funzione incriminata è la seguente
$(x+1)^(1/3) if x<=2$
$|log(x-2)| if x>2$
Nello studio della derivabilità scrive: "Osserviamo anche che, per la continuità di f in R \{ 2 } e l’esistenza di f ′ in R \{− 1 , 2 , 3 } , il limite del rapporto incrementale in x_1 = − 1 e x_2 = 3 può essere ottenuto come limite di f ′ ( x ) nei punti corrispondenti."
Il problema è che nella teoria ho studiato che "se esiste finito il limite della derivata di una funzione continua allora la funzione è derivabile"
E il libro rimarca il fatto che sia una condizione sufficiente, ma non necessaria.
Non è quindi vero che: se non esiste il limite della derivata allora la funzione non è derivabile.
Eppure quest'ultima affermazione è proprio quella che applica nella risoluzione (al posto della valutazione del limite del rapporto incrementale), qualcosa non deve essermi chiaro.
Mi aiutereste a far chiarezza?
Risposte
No, non è vero.
Esistono funzioni derivabili ovunque che hanno derivate non regolari. Ad esempio, la funzione $f:RR -> RR$ definita ponendo:
\[
f(x) := \begin{cases} x^2 \sin (1/x) &\text{, se } x\neq 0\\ 0&\text{, se } x=0\end{cases}
\]
è derivabile ovunque nel suo dominio con derivata:
\[
f^\prime (x) = \begin{cases} 2x \sin (1/x) - \cos (1/x) &\text{, se } x\neq 0\\ 0&\text{, se } x=0\end{cases}
\]
(il valore \(f^\prime (0)\) è calcolato con la definizione, cioè prendendo il limite del rapporto incrementale) e si vede che \(f^\prime\) non è regolare in $0$.
Dal punto di vista tecnico degli enunciati, invece, stai semplicemente sbagliando a negare l'enunciato del teorema.
Infatti, la negazione dell'enunciato che hai riportato (cioè, il teorema che si ottiene per contrapposizione) è: "Sia $f$ una funzione derivabile in tutti i punti di un intorno di $x_0$,, eccezione fatta al più per $x_0$. Se la funzione $f$ non è derivabile in $x_0$, allora o non è continua in tale punto o la derivata prima non vi è regolare".
Esistono funzioni derivabili ovunque che hanno derivate non regolari. Ad esempio, la funzione $f:RR -> RR$ definita ponendo:
\[
f(x) := \begin{cases} x^2 \sin (1/x) &\text{, se } x\neq 0\\ 0&\text{, se } x=0\end{cases}
\]
è derivabile ovunque nel suo dominio con derivata:
\[
f^\prime (x) = \begin{cases} 2x \sin (1/x) - \cos (1/x) &\text{, se } x\neq 0\\ 0&\text{, se } x=0\end{cases}
\]
(il valore \(f^\prime (0)\) è calcolato con la definizione, cioè prendendo il limite del rapporto incrementale) e si vede che \(f^\prime\) non è regolare in $0$.
Dal punto di vista tecnico degli enunciati, invece, stai semplicemente sbagliando a negare l'enunciato del teorema.
Infatti, la negazione dell'enunciato che hai riportato (cioè, il teorema che si ottiene per contrapposizione) è: "Sia $f$ una funzione derivabile in tutti i punti di un intorno di $x_0$,, eccezione fatta al più per $x_0$. Se la funzione $f$ non è derivabile in $x_0$, allora o non è continua in tale punto o la derivata prima non vi è regolare".
Temo di essermi spiegato male perché scrivendo:
Volevo far intendere che il sopra citato fosse un enunciato falso. Ovvero in altre parole che sarebbe inutile verificare i limiti nel punto della funzione derivata prima.Infatti esistono funzioni che non hanno derivata continua nel punto ma sono ivi derivabili.
L'uncio enunciato vero sarebbe: "se esiste finito il limite della derivata di una funzione continua allora la funzione è derivabile"
Questa affermazione per la verifica mi sembra molto falsa in pratica:
Eppure è scritto nelle soluzioni!
Non è quindi vero che: se non esiste il limite della derivata allora la funzione non è derivabile.
Volevo far intendere che il sopra citato fosse un enunciato falso. Ovvero in altre parole che sarebbe inutile verificare i limiti nel punto della funzione derivata prima.Infatti esistono funzioni che non hanno derivata continua nel punto ma sono ivi derivabili.
L'uncio enunciato vero sarebbe: "se esiste finito il limite della derivata di una funzione continua allora la funzione è derivabile"
Questa affermazione per la verifica mi sembra molto falsa in pratica:
"Osserviamo anche che, per la continuità di f in R \{ 2 } e l’esistenza di f ′ in R \{− 1 , 2 , 3 } , il limite del rapporto incrementale in x_1 = − 1 e x_2 = 3 può essere ottenuto come limite di f ′ ( x ) nei punti corrispondenti."
Eppure è scritto nelle soluzioni!
Non ho ancora trovato risposta se questa affermazione sia corretta o meno, mi aiutereste a fugare il dubbio?
"Osserviamo anche che, per la continuità di f in R \{ 2 } e l’esistenza di f ′ in R \{− 1 , 2 , 3 } , il limite del rapporto incrementale in x_1 = − 1 e x_2 = 3 può essere ottenuto come limite di f ′ ( x ) nei punti corrispondenti."
"yessa":
La funzione incriminata è la seguente
\[
f(x):= \begin{cases} \sqrt[3]{x+1} &\text{, se } x\leq 2\\ |\log (x-2)| &\text{, se } x>2\end{cases}
\]
La funzione $f$ è definita in $RR$, continua in $RR-\{2\}$ e continua in $2$ solo da sinistra.
La $f$ è sicuramente derivabile in $RR$ privato dei punti $2$ (nel quale $f$ non è continua), $-1$ (nel quale si annulla il radicando) e $3$ (nel quale si annulla l’argomento del valore assoluto), la derivata essendo:
\[
f^\prime (x):= \begin{cases} \frac{1}{3 \sqrt[3]{(x+1)^2}} &\text{, se } x<2 \text{ e } x\neq -1 \\ \frac{1}{2-x} &\text{, se } 2
\]
Per vedere cosa accade in $-1$ ed in $3$[nota]In $2$ non c’è bisogno di controllare alcunché, perché $f$ non può essere derivabile in tal punto in quanto non è continua... Al massimo, potresti andare a controllare se $f$ è derivabile in $2$ da sinistra.[/nota] bisogna andare ad analizzare il comportamento dei rapporti incrementali: hai:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to -1^\pm} \frac{f(x) - f(-1)}{x+1} &= \lim_{x\to -1^\pm} \frac{\sqrt[3]{x+1}}{x+1}\\
&= +\infty\\
\lim_{x\to 3^\pm} \frac{f(x) - f(3)}{x-3} &= \lim_{x\to 3^\pm} \frac{|\log(x-2)|}{x-3} \\
&= \lim_{x\to 3^\pm} \frac{\pm \log(1+(x-3))}{x-3} \\
&= \pm 1
\end{split}
\]
dunque in nessuno dei due casi il limite esiste finito, perciò $f$ non è derivabile né in $-1$ né in $3$.
Questo è un buon modo per svolgere l’esercizio, poiché si sfruttano solo le definizioni.
Poi, volendo, puoi usare il teorema di de l’Hôpital per calcolare i limiti direzionali dei rapporti incrementali: infatti hai:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to -1^\pm} \frac{f(x) - f(-1)}{x+1} &\stackrel{\text{H}}{=} \lim_{x\to -1^\pm} f^\prime (x) \\
&= +\infty\\
\lim_{x\to 3^\pm} \frac{f(x) - f(3)}{x-3} &\stackrel{\text{H}}{=} \lim_{x\to 3^\pm} f^\prime (x) \\
&= \pm 1
\end{split}
\]
ed ottenere gli stessi risultati.
Ciao gugo, grazie ancora. In realtà quello che mi dici tu mi sembra tornarmi tutto.
Vorrei farti vedere la soluzione proposta a questo esercizio perché secondo me applica proprio il metodo sbagliato. Vorrei sapere cosa ne pensi tu perché mi piacerebbe segnalarlo come errore.
Non usare il limte del rapporto incrementale e dedurne la non derivabilità mi sembra un errore grossolano.
Vorrei farti vedere la soluzione proposta a questo esercizio perché secondo me applica proprio il metodo sbagliato. Vorrei sapere cosa ne pensi tu perché mi piacerebbe segnalarlo come errore.
Non usare il limte del rapporto incrementale e dedurne la non derivabilità mi sembra un errore grossolano.
Forse poteva scriverla meglio, ma sta applicando il teorema del marchese come ho fatto sopra.
L'avevo intesa proprio male, grazie.
Ora ho visto!
Ora ho visto!
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