Derivabilità e continuità
Se f è derivabile in $x_0$, con $x_0=1$ allora è giusto dire che per per $x->1 f(x) - f(1)=o(x-1) $?
Risposte
Secondo te?
Come lo dimostreresti?
Come lo dimostreresti?
"gugo82":
Secondo te?
Come lo dimostreresti?
Facendo il limite del rapporto incrementale ottengo :
$f(x) - f(x_0)-f`(x_0)(x-x_0)=o(x-x_0)$
Da qui in poi non so continuare...$f'(x_0)$ è una costante no?
Sì, $f^\prime (x_0)$ è un numero reale.
Quindi?
Il tuo guess è giusto? O no?
E in quali casi è esatto?
Quindi?
Il tuo guess è giusto? O no?
E in quali casi è esatto?
"gugo82":
Sì, $f^\prime (x_0)$ è un numero reale.
Quindi?
Il tuo guess è giusto? O no?
E in quali casi è esatto?
È giusto nel momento in cui $f`(x_0)=0$ quindi il mio esempio è sbagliato avendo come sola ipotesi f(x) derivabile in $x_0$, quindi non posso dire nulla a priori non conoscendo la funzione?
P. S. Non vorrei dire una cavolata ma se f`(x_0) =0, f(x) è una retta?
Già.
"Salvy":
P. S. Non vorrei dire una cavolata ma se f`(x_0) =0, f(x) è una retta?
Attenzione, $f(x)$ non è una retta (è una funzione!) e la condizione $f'(x_0)=0$ non garantisce nemmeno che il grafico di $f(x)$ sia una retta. Tuttalpiù, puoi affermare che la retta tangente al grafico di $f(x)$ nel punto di ascissa $x_0$ è parallela all'asse delle ascisse ($x_0$ è un punto stazionario per $f(x)$).
Come (contro)esempio, considera la funzione $f(x)=(x-1)^2$, verifica che rispetta tutti vincoli del problema e trai le dovute conclusioni.
Grazie Mathita.
Quando ho scritto il post precedente, il P.S. non era stato ancora inserito, oppure non me n’ero accorto.
@ Salvy: Comunque, queste sono cose che dovresti aver già chiare da Analisi I.
Quando ho scritto il post precedente, il P.S. non era stato ancora inserito, oppure non me n’ero accorto.
@ Salvy: Comunque, queste sono cose che dovresti aver già chiare da Analisi I.
Si, il mio dubbio era comunque un altro :
A prescindere da f, posso dire che se una funzione è derivabile in x0 allora $f(x) - f(x_0)=o(x-x_0)$
Risposta: no.
A prescindere da f, posso dire che se una funzione è derivabile in x0 allora $f(x) - f(x_0)=o(x-x_0)$
Risposta: no.
@Gugo82, non dovresti essere tu a ringraziarmi (anzi sono io a farlo perché in questi anni ho imparato davvero tanto leggendo moltissimi dei tuoi post).
@Salvy, non volevo sembrare supponente, tutt'altro. Volevo solo rendermi utile e chiarire un tuo dubbio, dopotutto
è una domanda che avevi posto tu.
@Salvy, non volevo sembrare supponente, tutt'altro. Volevo solo rendermi utile e chiarire un tuo dubbio, dopotutto
P. S. Non vorrei dire una cavolata ma se f`(x_0) =0, f(x) è una retta?
è una domanda che avevi posto tu.
"Salvy":
Se f è derivabile in $x_0$, con $x_0=1$ allora è giusto dire che per per $x->1 f(x) - f(1)=o(x-1) $?
Comunque ho controllato la soluzione e a quanto pare la risposta è sbagliata cioè è giusto dire questo :
$x->1 f(x) - f(1)=o(x-1) $
"Salvy":
[quote="Salvy"]Se f è derivabile in $x_0$, con $x_0=1$ allora è giusto dire che per per $x->1 f(x) - f(1)=o(x-1) $?
Comunque ho controllato la soluzione e a quanto pare la risposta è sbagliata cioè è giusto dire questo :
$x->1 f(x) - f(1)=o(x-1) $[/quote]
Avendo come sola ipotesi che f(x) è derivabile in $x_0$ come mai accade questo?non riesco a capirlo ...
Avendo come sola ipotesi che $f(x)$ sia derivabile in $x_0=1$, quella relazione è falsa.
Se consideri una qualsiasi funzione $f$ derivabile in $1$, si ha che:
$\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)$
(è la definizione di derivata in un punto) da cui
$\lim_{x\to 1}[\frac{f(x)-f(1)}{x-1}-f'(1)]=0 \implies f(x)-f(1)-f'(1)(x-1)=o(x-1), x\to 1$
Se, in particolare, $f'(1)=0$, allora $f(x)-f(1)=o(x-1)$ per $x\to 1$.
Deduco quindi che o il redattore ha commesso un typo nella domanda, dimenticandosi di inserire un'ipotesi importante, oppure ha sbagliato a riportare la risposta.
Se consideri una qualsiasi funzione $f$ derivabile in $1$, si ha che:
$\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)$
(è la definizione di derivata in un punto) da cui
$\lim_{x\to 1}[\frac{f(x)-f(1)}{x-1}-f'(1)]=0 \implies f(x)-f(1)-f'(1)(x-1)=o(x-1), x\to 1$
Se, in particolare, $f'(1)=0$, allora $f(x)-f(1)=o(x-1)$ per $x\to 1$.
Deduco quindi che o il redattore ha commesso un typo nella domanda, dimenticandosi di inserire un'ipotesi importante, oppure ha sbagliato a riportare la risposta.
"Mathita":
Avendo come sola ipotesi che $f(x)$ sia derivabile in $x_0=1$, quella relazione è falsa.
Se consideri una qualsiasi funzione $f$ derivabile in $1$, si ha che:
$\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)$
(è la definizione di derivata in un punto) da cui
$\lim_{x\to 1}[\frac{f(x)-f(1)}{x-1}-f'(1)]=0 \implies f(x)-f(1)-f'(1)(x-1)=o(x-1), x\to 1$
Se, in particolare, $f'(1)=0$, allora $f(x)-f(1)=o(x-1)$ per $x\to 1$.
Deduco quindi che o il redattore ha commesso un typo nella domanda, dimenticandosi di inserire un'ipotesi importante, oppure ha sbagliato a riportare la risposta.
Grazie mille .
Salvy, ho una domanda da farti. Mi hanno inviato un messaggio privato in cui mi veniva fatto notare che la relazione è vera nel momento in cui si considera l'O-grande.
Ti chiedo: per caso nella traccia la relazione è $f(x)-f(1)=O(x-1)$ per $x\to 1$?
Ringrazio Bokonon per la puntualizzazione.
Ti chiedo: per caso nella traccia la relazione è $f(x)-f(1)=O(x-1)$ per $x\to 1$?
Ringrazio Bokonon per la puntualizzazione.
"Mathita":
Salvy, ho una domanda da farti. Mi hanno inviato un messaggio privato in cui mi veniva fatto notare che la relazione è vera nel momento in cui si considera l'O-grande.
Ti chiedo: per caso nella traccia la relazione è $f(x)-f(1)=O(x-1)$ per $x\to 1$?
Nono è o piccolo, O grande come "carattere"ha le dimensioni di uno 0, quello invece ha la stessa altezza di una x minuscola, quindi sarà sicuramente un o piccolo.
Ringrazio Bokonon per la puntualizzazione.
Ok, allora confermo quello che ho detto in precedenza. La relazione con l'o-piccolo è falsa. 
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