Derivabilità due variabili
Data la funzione
$f(x,y)={(y^3/sqrt(x^2 + y^2),se(x , y)!=(0 , 0)),(0,se(x , y)=(0 , 0)):}$
per calcolarmi la derivabilità posso applicare la definizione $(delf(x_0,y_0))/(delx) = \lim_{h \to \infty} (f(x_0 + h,y_0) - f(x_0,y_0))/h $ (analoga per la y)
la funzione sarà derivabile se esiste il gradiente.
per la x viene $\lim_{h \to \0} (0/sqrt(h^2))/h $
ora il problema è questo: sostituendo 0 ad h il limite risulta del tipo $0/0$ e quindi è una forma indeterminata o di indecisione. Però ho notato che per la derivabilità vengono sempre queste forme e quindi vorrei capire se posso affermare direttamente che il limite tende a zero oppure devo fare altri passaggi.
grazie
$f(x,y)={(y^3/sqrt(x^2 + y^2),se(x , y)!=(0 , 0)),(0,se(x , y)=(0 , 0)):}$
per calcolarmi la derivabilità posso applicare la definizione $(delf(x_0,y_0))/(delx) = \lim_{h \to \infty} (f(x_0 + h,y_0) - f(x_0,y_0))/h $ (analoga per la y)
la funzione sarà derivabile se esiste il gradiente.
per la x viene $\lim_{h \to \0} (0/sqrt(h^2))/h $
ora il problema è questo: sostituendo 0 ad h il limite risulta del tipo $0/0$ e quindi è una forma indeterminata o di indecisione. Però ho notato che per la derivabilità vengono sempre queste forme e quindi vorrei capire se posso affermare direttamente che il limite tende a zero oppure devo fare altri passaggi.
grazie
Risposte
Ti consiglierei di fare le cose in maniera più sistematica, altrimenti non si capisce nulla. Intanto, una cosa da affermare subito è che quella funzione è certamente derivabile in tutti i punti $(x, y)$ diversi da $(0, 0)$ (perché?). Detto questo passiamo a studiare la derivabilità nell'origine. Cominciamo con la derivata rispetto ad $x$: se scrivi per bene il rapporto incrementale per $(x_0, y_0)=(0, 0)$, ti accorgi che è nullo per ogni $h$. Quindi quanto fa il limite per $h\to0$? (Nota che non c'è nessuna forma indeterminata).
"dissonance":
Ti consiglierei di fare le cose in maniera più sistematica, altrimenti non si capisce nulla. Intanto, una cosa da affermare subito è che quella funzione è certamente derivabile in tutti i punti $(x, y)$ diversi da $(0, 0)$ (perché?). Detto questo passiamo a studiare la derivabilità nell'origine. Cominciamo con la derivata rispetto ad $x$: se scrivi per bene il rapporto incrementale per $(x_0, y_0)=(0, 0)$, ti accorgi che è nullo per ogni $h$. Quindi quanto fa il limite per $h\to0$? (Nota che non c'è nessuna forma indeterminata).
perchè è continua giusto? Ah giusto viene 0/1 = 0 ok. Però ad esempio nel caso la funzione sia $f(x,y)=(x^5)/((y-x^2)^2 + x^6) $se applico la definizione rispetto a y ottengo limite di h che tende a zero di: $ 0 / h^2 $ che è indeterminata. Come faccio?
Fai che ti vai a ripassare i limiti 
Se il numeratore è identicamente nullo, che forma indeterminata vuoi che ci sia? Quanto fa $lim_{x\to"un miliardo"}0/{arctan(sin(cos("cotan"(x))))}$?
E ti vai a ripassare pure la derivabilità della somma-del prodotto-della funzione composta. Da quando una funzione continua è automaticamente derivabile? La funzione del tuo primo post è derivabile ovunque tranne che in $(0, 0)$ perché composta di funzioni derivabili. L'unico problema ce l'hai in $(0, 0)$ che annulla il denominatore (e anche la radice quadrata, che in $0$ non è derivabile).
Se il numeratore è identicamente nullo, che forma indeterminata vuoi che ci sia? Quanto fa $lim_{x\to"un miliardo"}0/{arctan(sin(cos("cotan"(x))))}$?
E ti vai a ripassare pure la derivabilità della somma-del prodotto-della funzione composta. Da quando una funzione continua è automaticamente derivabile? La funzione del tuo primo post è derivabile ovunque tranne che in $(0, 0)$ perché composta di funzioni derivabili. L'unico problema ce l'hai in $(0, 0)$ che annulla il denominatore (e anche la radice quadrata, che in $0$ non è derivabile).
"dissonance":
Fai che ti vai a ripassare i limiti
Se il numeratore è identicamente nullo, che forma indeterminata vuoi che ci sia? Quanto fa $lim_{x\to"un miliardo"}0/{arctan(sin(cos("cotan"(x))))}$?
E ti vai a ripassare pure la derivabilità della somma-del prodotto-della funzione composta. Da quando una funzione continua è automaticamente derivabile? La funzione del tuo primo post è derivabile ovunque tranne che in $(0, 0)$ perché composta di funzioni derivabili. L'unico problema ce l'hai in $(0, 0)$ che annulla il denominatore (e anche la radice quadrata, che in $0$ non è derivabile).
E te vai a ripassare come ci si confronta con le persone. Se sto chiedendo aiuto perchè nonostante l'impegno qualcosa non mi torna non c'è bisogno di rispondere con alterigia. Sono pronto ad accettare consigli e a correggere i miei errori, ma con tutte le tue belle domandette retoriche non mi aiuti molto. Se qualcosa non mi è chiaro non sono certo qui per sentirti fare il superiore. Un conto è dire:"No guarda una funzione continua non è automaticamente derivabile." Un conto è dire con aria di superiorità:"Da quando una funzione continua è automaticamente derivabile?" Cosa vuoi che ti risponda? Da oggi? Mah
Io non avevo intenzione di offenderti, usavo solo un tono più informale. Sono fraintendimenti che capitano spesso nei forum. Mi dispiace averti dato fastidio.
In realtà le mie "domandette retoriche" non sono una maniera per sfottere ma per fornire uno spunto di riflessione e di segnalare due lacune che a mio parere tu hai.
La prima riguarda il calcolo dei limiti in una variabile: se una funzione è identicamente nulla in un intorno di un punto $x_0$, allora il limite per $x\tox_0$ vale $0$ a prescindere dall'espressione analitica che può essere anche molto complicata, come nell'esempio di sopra.
La seconda riguarda la continuità e la derivabilità in una e/o in più variabili: non è detto che una funzione continua sia anche derivabile, come in una variabile dimostra la funzione $|x|$ - non derivabile nello $0$. Questo è un fatto che, per me, va tenuto sempre presente e a cui rispondere con un riflesso condizionato.
In realtà le mie "domandette retoriche" non sono una maniera per sfottere ma per fornire uno spunto di riflessione e di segnalare due lacune che a mio parere tu hai.
La prima riguarda il calcolo dei limiti in una variabile: se una funzione è identicamente nulla in un intorno di un punto $x_0$, allora il limite per $x\tox_0$ vale $0$ a prescindere dall'espressione analitica che può essere anche molto complicata, come nell'esempio di sopra.
La seconda riguarda la continuità e la derivabilità in una e/o in più variabili: non è detto che una funzione continua sia anche derivabile, come in una variabile dimostra la funzione $|x|$ - non derivabile nello $0$. Questo è un fatto che, per me, va tenuto sempre presente e a cui rispondere con un riflesso condizionato.
"gago":
[quote="dissonance"]Ti consiglierei di fare le cose in maniera più sistematica, altrimenti non si capisce nulla. Intanto, una cosa da affermare subito è che quella funzione è certamente derivabile in tutti i punti $(x, y)$ diversi da $(0, 0)$ (perché?). Detto questo passiamo a studiare la derivabilità nell'origine. Cominciamo con la derivata rispetto ad $x$: se scrivi per bene il rapporto incrementale per $(x_0, y_0)=(0, 0)$, ti accorgi che è nullo per ogni $h$. Quindi quanto fa il limite per $h\to0$? (Nota che non c'è nessuna forma indeterminata).
perchè è continua giusto? Ah giusto viene 0/1 = 0 ok. Però ad esempio nel caso la funzione sia $f(x,y)=(x^5)/((y-x^2)^2 + x^6) $se applico la definizione rispetto a y ottengo limite di h che tende a zero di: $ 0 / h^2 $ che è indeterminata. Come faccio?[/quote]
Capisco la reazione di dissonance.
Credo sia importante rendersi conto che quando si fanno domande in questo forum e si ottengono risposte, in particolare risposte come quelle di dissonance che invitano alla riflessione, in tal caso sia meglio ascoltare il suggerimento ricevuto. Più che cercare di rispondere "subito".
L'invito resta, perché le risposte che hai dato mostrano incomprensioni ed errori gravi, su questioni di fondo, cui potrebbe essere saggio cercare di rimediare.
"Fioravante Patrone":
[quote="gago"][quote="dissonance"]Ti consiglierei di fare le cose in maniera più sistematica, altrimenti non si capisce nulla. Intanto, una cosa da affermare subito è che quella funzione è certamente derivabile in tutti i punti $(x, y)$ diversi da $(0, 0)$ (perché?). Detto questo passiamo a studiare la derivabilità nell'origine. Cominciamo con la derivata rispetto ad $x$: se scrivi per bene il rapporto incrementale per $(x_0, y_0)=(0, 0)$, ti accorgi che è nullo per ogni $h$. Quindi quanto fa il limite per $h\to0$? (Nota che non c'è nessuna forma indeterminata).
perchè è continua giusto? Ah giusto viene 0/1 = 0 ok. Però ad esempio nel caso la funzione sia $f(x,y)=(x^5)/((y-x^2)^2 + x^6) $se applico la definizione rispetto a y ottengo limite di h che tende a zero di: $ 0 / h^2 $ che è indeterminata. Come faccio?[/quote]
Capisco la reazione di dissonance.
Credo sia importante rendersi conto che quando si fanno domande in questo forum e si ottengono risposte, in particolare risposte come quelle di dissonance che invitano alla riflessione, in tal caso sia meglio ascoltare il suggerimento ricevuto. Più che cercare di rispondere "subito".
L'invito resta, perché le risposte che hai dato mostrano incomprensioni ed errori gravi, su questioni di fondo, cui potrebbe essere saggio cercare di rimediare.[/quote]
Nei post di questo forum mi sono state poste molte domande. Non mi è stata data mai subito la soluzione. Ed io ho sempre cercato di rispondere.
Come già detto sono pronto a correggere i miei errori. Quello che mi ha dato fastidio è il modo con cui si è posto dissonance. Un modo più garbato come ha usato lei aiuta di più.
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