Derivabilità due variabili

[lucalo1]

Ragazzi, perdonatemi ma approfitto di un po' di tempo libero per togliermi un grosso tarlo.
Ho difficoltà nel vedere la derivabilità di una funzione definita a tratti come la seguente.

$ f:{ ( (1-cos(xy))/(x^4+y^4) (x,y)!= (0,0)),( 0 (x,y) = (0,0)):} $

Faccio la derivata parziale in x e ne calcolo il lim in 0,0
$ lim_((x, y)->(0,0))(y (x^4+y^4) sin(x y)+4 x^3 cos(x y)-4 x^3)/(x^4+y^4)^2 $

e vedo che non esiste.
Tuttavia secondo il mio libro la funzione f è derivabile in 0,0 con derivata nulla.

Pensavo lo dicesse perché, valendo la funzione 0 in (0,0) allora aveva derivate nulle, tuttavia, in altre funzioni definite alla stessa maniera ( (0) in (0,0) ) mi capita che la funzione non sia derivabile in 0,0.
Qualcuno riesca a svelarmi l'arcano?

[xnix]

"lucalo": Pensavo lo dicesse perché, valendo la funzione 0 in (0,0) allora aveva derivate nulle, tuttavia, in altre funzioni definite alla stessa maniera ( (0) in (0,0) ) mi capita che la funzione non sia derivabile in 0,0.
Qualcuno riesca a svelarmi l'arcano?

fammi un esempio di quanto dici, perfavore...
considera che hai una funzione che ha limite che non esiste e non è derivabile in (0,0)! la differenza che ti disturba è dovuta dal fatto che per funzioni a più variabili non è detto che se sono derivabili sono continue nel punto

[lucalo1]

"TeM":
Per definizione, \(f\) è derivabile per \( (x,\,y) = (0,\,0) \) se e solo se \[ \begin{cases} \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h,\,0)-f(0,\,0)}{h} = f_x(0,\,0) = 0 \\ \lim_{k\to 0} \frac{f(0,\,0+k)-f(0,\,0)}{k} = f_y(0,\,0) = 0\end{cases} \] e dato che è facilmente riscontrabile essere \[ \begin{cases} \lim_{h\to 0} \frac{0}{h^5} = 0 \\ \lim_{k\to 0} \frac{0}{k^5} = 0\end{cases} \] possiamo concludere che \(f\) è derivabile in tutto il piano \(\mathbb{R}^2\).

Spero sia un po' più chiaro

Ecco. Questo è il ragionamento che avrei fatto pure io. Ti faccio l'esempio di un problema che ho riscontrato e al quale mi riferivo sostenendo che "...in altre funzioni definite alla stessa maniera ( (0) in (0,0) ) mi capita che la funzione non sia derivabile in 0,0."

$ { ( (sen^2(x)+sen^2(y))/(x^2+y^2)^(1/2) (x,y)!=(0,0) ),( 0 (x,y)=(0,0) ):} $

Secondo il libro è conitnua in 0,0 (e mi trovo) ma NON E` DERIVABILE in (0,0), cosa strana se faccio lo stesso ragionamento che ho fatto per la funzione precedente.
Devo dedurne che è un errore del libro?

[lucalo1]

"TeM":[quote="lucalo"]Devo dedurne che è un errore del libro?

Non è un errore del libro. Infatti si ha \[ \begin{cases} \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h,\,0)-f(0,\,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h}{|h|} = \pm 1 \; \Rightarrow \; \not\exists \\ \lim_{k\to 0} \frac{f(0,\,0+k)-f(0,\,0)}{k} = \lim_{k\to 0} \frac{k}{|k|} = \pm 1\; \Rightarrow \; \not\exists\end{cases} \] Ma non è tutto, se entrambi fossero stati coincidenti a \(+1\) oppure a \(-1\), \(f\) non sarebbe stata comunque derivabile nell'origine in quanto le derivate prime parziali del secondo tratto sono identicamente nulle, ossia diverse da \(\pm 1\). [/quote]

Ah! ecco, svelato l'arcano.
Grazie mille ^_^