Derivabilità, differenziabilità e legami
Ciao ragazzi, stavo ripassando le derivate in Analisi Matematica 2 e mi sono venute delle domande.
Allora, per prima cosa vi elenco le definizione che ho in uso:
La funzione f è derivabile nel punto x0: se esistono le derivate parziali calcolate in x0.
(1)Domanda: perché richiede l'esistenza delle sole derivate parziali? Mi verrebbe logico pensare che, se la funzione f è derivabile in x0, lo sia per tutte le derivate in qualsiasi direzione (non solo quelle lungo gli assi x, y, ... ma anche in qualsiasi direzione, di conseguenza mi verrebbe naturale estendere anche alle derivate direzionali).
Legame differenziabilità-derivabilità: la differenziabilità implica la derivabilità (proprietà espressa in modo informale).
Una funzione f è differenziabile in x0 se, per definizione, f(x0+h) = f(x0) + lineare*(x-x0) + o, con h tendente a zero. (o = 'o piccolo', una quantità tendente a zero).
Quel lineare rappresenta la derivata totale, che in una generica funzione f definita su R^m con risultati in R^n, è una matrice m*n chiamata matrice Jacobiana.
(2) La matrice Jacobiana contiene tutte le derivate parziali (prime, seconde, terze, quarte, ...) di tutte la variabili della funzione f. E' giusta la mia definizione?
Intanto vi ringrazio e vi auguro buona settimana!
Allora, per prima cosa vi elenco le definizione che ho in uso:
La funzione f è derivabile nel punto x0: se esistono le derivate parziali calcolate in x0.
(1)Domanda: perché richiede l'esistenza delle sole derivate parziali? Mi verrebbe logico pensare che, se la funzione f è derivabile in x0, lo sia per tutte le derivate in qualsiasi direzione (non solo quelle lungo gli assi x, y, ... ma anche in qualsiasi direzione, di conseguenza mi verrebbe naturale estendere anche alle derivate direzionali).
Legame differenziabilità-derivabilità: la differenziabilità implica la derivabilità (proprietà espressa in modo informale).
Una funzione f è differenziabile in x0 se, per definizione, f(x0+h) = f(x0) + lineare*(x-x0) + o, con h tendente a zero. (o = 'o piccolo', una quantità tendente a zero).
Quel lineare rappresenta la derivata totale, che in una generica funzione f definita su R^m con risultati in R^n, è una matrice m*n chiamata matrice Jacobiana.
(2) La matrice Jacobiana contiene tutte le derivate parziali (prime, seconde, terze, quarte, ...) di tutte la variabili della funzione f. E' giusta la mia definizione?
Intanto vi ringrazio e vi auguro buona settimana!
Risposte
Ciao! 
Le derivate direzionali sono combinazioni lineari delle derivate parziali $x$ ed $y$, quindi basta dimostrare che queste due esistono in $x_0$ che contemporaneamente esistono anche quelle direzionali.
Per la seconda parte della domanda invece ci devo pensare invece.
Le derivate direzionali sono combinazioni lineari delle derivate parziali $x$ ed $y$, quindi basta dimostrare che queste due esistono in $x_0$ che contemporaneamente esistono anche quelle direzionali.
Per la seconda parte della domanda invece ci devo pensare invece.
Quel 'lineare' rappresenta le derivate totali, tenendo conto che $F:\mathbb{R^{n}}\rightarrow \mathbb{R^{m}}$, è una matrice m*n chiamata matrice Jacobiana.
In questo caso generale quindi la matrice Jacobiana contiene tutte le derivate parziali di tutte la variabili della funzione F (ma non derivate seconde, terze, ecc) ma solo le derivate prime:
$ ( ( (partial F_1)/(partial x_1) , cdots , (partial F_1)/(partial x_n) ),( vdots , ddots , vdots ),( (partial F_m)/(partial x_1) , cdots , (partial F_m)/(partial x_n) ) ) $
Nel caso di una funzione a due variabili questa matrice corrisponde al gradiente cioè ( $(partial F)/(partial x),(partial F)/(partial y)$)
In questo caso generale quindi la matrice Jacobiana contiene tutte le derivate parziali di tutte la variabili della funzione F (ma non derivate seconde, terze, ecc) ma solo le derivate prime:
$ ( ( (partial F_1)/(partial x_1) , cdots , (partial F_1)/(partial x_n) ),( vdots , ddots , vdots ),( (partial F_m)/(partial x_1) , cdots , (partial F_m)/(partial x_n) ) ) $
Nel caso di una funzione a due variabili questa matrice corrisponde al gradiente cioè ( $(partial F)/(partial x),(partial F)/(partial y)$)
Grazie mille ragazzi, siete stati molto d'aiuto
Prego!
"curiosone":Certamente. Infatti, la "vera" proprietà di regolarità è la differenziabilità, e quella si che è indipendente dalla scelta di un sistema di coordinate. La sola proprietà di derivabilità è una cosa vuota, ci sono esempi come
Ciao ragazzi, stavo ripassando le derivate in Analisi Matematica 2 e mi sono venute delle domande.
Allora, per prima cosa vi elenco le definizione che ho in uso:
La funzione f è derivabile nel punto x0: se esistono le derivate parziali calcolate in x0.
(1)Domanda: perché richiede l'esistenza delle sole derivate parziali? Mi verrebbe logico pensare che, se la funzione f è derivabile in x0, lo sia per tutte le derivate in qualsiasi direzione (non solo quelle lungo gli assi x, y, ... ma anche in qualsiasi direzione, di conseguenza mi verrebbe naturale estendere anche alle derivate direzionali).
\[
f(x, y)=\begin{cases} 1, & xy=0 \\ 0, & xy\ne 0\end{cases}, \]
una funzione certamente non regolare e che tuttavia passa il test per la derivabilità in tutti i punti.
Quel lineare rappresenta la derivata totale, che in una generica funzione f definita su R^m con risultati in R^n, è una matrice m*n chiamata matrice Jacobiana.
Si. Anche qui, l'approssimazione lineare è un oggetto indipendente dalla scelta di un sistema di coordinate. La sua rappresentazione esplicita nella base canonica di \(\mathbb R^n\) ( o in una qualsiasi base ortonormale) è la matrice che hai citato (anzi no, la ha citata MarekUrsaMaioris)
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