Derivabilità di una Funzione definita a Tratti

[Lorenz90]

Dovrei studiare la derivabilità della seguente funzione, nel punto $x_(0)=0$ e - in caso affermativo - calcolarne esplicitamente la derivata:

$f(x)= \{((sin(x^3-x^2+8x^4))/(x+3x^2)), (0):}$

Preciso che la prima parte della funzione $f(x)$ è definita per $x!=0$ la seconda per $x=0$
Come procedere con lo studio della derivabilità di questo genere di funzione ("definita a tratti")??
Grazie!!

[anto_zoolander]

Come qualsiasi altra derivata, imposti il limite

$lim_(h->0)(f(h)-f(0))/h=lim_(h->0)sin(h^3-h^2+8h^4)/(h(h+3h^2))$

[Lorenz90]

"anto_zoolander":Come qualsiasi altra derivata, imposti il limite

$lim_(h->0)(f(h)-f(0))/h=lim_(h->0)sin(h^3-h^2+8h^4)/(h(h+3h^2))$

Bene, avrei però dei dubbi sulla risoluzione del limite:

$lim_(h->0) sin (h^3-h^2+8h^4)/(h(h+3h^2)) = lim_(h->0) sin h^2(8h^2+h-1)/(h(h+3h^2)$

A questo punto come dovrei procedere? Inoltre, ammesso che la funzione sia derivabile in $x_0=0$, calcolando la derivata nel punto $x_0$ ottengo:

$f'(x)= ([cos (x^3-x^2+8x^4) (3x^2-2x+32x^3)] (x+3x^2) - sin (x^3-x^2+8x^4) (6x+1))/(x+3x^2)^2$
$f(x_0)= ?$
Dove sbaglio??

[anto_zoolander]

per $h->0$ si ha $lim_(h->0)sin(h^3-h^2+8h^4)/(h(h+3h^2))=lim_(h->0)(h^3-h^2+8h^4)/(h(h+3h^2))$ no?