Derivabilità di una funzione

[No_Rules1]

Salve a tutti, apro questo topic perché vorrei chiarire alcuni dubbi riguardo a come studiare la derivabilità di una funzione.
Innanzitutto, non mi è ben chiaro quando è necessario utilizzare il limite del rapporto incrementale invece che la derivata destra o sinistra di un punto.
In generale mi sembra che quando la funzione sia definita su tutto R mi basta farne la derivata e vedere se ci sono eventuali punti di non derivabilità.
Invece come mi comporto quando la funzione è definita su un intervallo chiuso od aperto?
Ovviamente come premessa so benissimo che affinché una funzione sia derivabile deve essere continua e quindi questo presuppone, se non noto, uno studio della continuità di esse.

Grazie a chiunque offrirà la sua esperienza.

[Seneca1]

Un esempio banale; sia $f$ così definita:

$f(x) = x$ per $x in ] -1 , 0]$
mentre $f(x) = x + 99$ per $x in ] 0 , 1[$

La derivata è $f'(x) = 1$ per $x in ] -1 , 0 [ uu ] 0 , 1 [$

Inoltre $lim_(x -> 0^+) f'(x) = lim_(x -> 0^-) f'(x) = 1$ , però in $0$ la $f$ è ben lontana dall'essere derivabile.

Se n'è parlato tante volte, comunque. Cerca sul forum quello che spesso va sotto il nome di Teorema di Darboux.