Derivabilità! (di nuovo..)

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Salve a tutti, anche oggi ho un problema con un esercizio sulla derivabilità...

Devo studiare per quali valori di $ x in R $ la funzione risulta derivabile in $ x $.

La funzione è la seguente:

$ g(x) = |e^(x+2) - e| $

Considerato il modulo ottengo:

$ g(x) = { ( e^(x+2)-e \rightarrow x>=-1 ),( -e^(x+2)+e \rightarrow x<-1 ):} $

quindi mi calcolo la continuità e sembra essere continua, ma quando mi calcolo il limite del rapporto incrementale sembra non essere derivabile nel punto $ -1 $...

A) è corretto?

B) Ho il solito dubbio.. essendo la funzione continua in $ x=-1 $ non posso calcolarmi solo il limite destro e sinistro per $ x\rightarrow-1 $ della derivata prima della funzione (considerando quella definita a seconda dei due casi) per determinare se è derivabile?

Grazie $ oo $

[21zuclo]

ma la derivata della funzione con il modulo è $ y'(x)=f'(x)\cdot (|f(x)|)/(f(x)) $

cioè se tu hai $ y(x)=|f(x)| \to y'(x)=f'(x)\cdot (|f(x)|)/(f(x)) $

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Quello che ho tentato di fare è stato studiare la funzione contenuta nel modulo distinguendo i due casi definiti come ho scritto sopra... quindi non è corretto?

[Brancaleone1]

A) E' giusto.

B) Certo che puoi, oppure ti ricavi la derivata e ne trovi il dominio.

[Rigel1]

"21zuclo":ma la derivata della funzione con il modulo è $ y'(x)=f'(x)\cdot (|f(x)|)/(f(x)) $

cioè se tu hai $ y(x)=|f(x)| \to y'(x)=f'(x)\cdot (|f(x)|)/(f(x)) $

Non è del tutto corretto.
Se hai una funzione \(y(x) = |f(x)|\), con \(f\) derivabile in \(x_0\), allora hai che
\[
y'(x_0) =
\begin{cases}
f'(x_0)\, \text{sign} f(x_0), & \text{se}\ f(x_0) \neq 0,\\
0, & \text{se}\ f(x_0) = 0\ \text{e}\ f'(x_0) = 0,\\
\text{non esiste} & \text{se}\ f(x_0) = 0\ \text{e}\ f'(x_0)\neq 0.
\end{cases}
\]
Nel terzo caso esistono comunque finite le derivate sinistre e destre di \(y\) in \(x_0\), che però sono diverse in quanto
\[
y'_+(x_0) = |f'(x_0)|,\qquad y'_{-}(x_0) = - |f'(x_0)|.
\]

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Grazie a tutti per le risposte!

[vict85]

Un piccolo commento spero ispiratore. Quando passi dalle funzioni alle distribuzioni, i casi come questi potrebbero introdurre dei delta di Dirac durante la derivazione. Questo è un caso in cui succede. Insomma in futuro potresti incontrare teorie in cui questo tipo di funzioni sono derivabili. Seppur la derivata non sia una funzione.

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Lo terrò a mente! Magari mi vado a cercare qualcosa a riguardo!