Derivabilità di funzioni a due variabili...
Non ho capito come si fa a verificare la derivabilità di una funzione a due variabili in un punto.
Inizialmente pensavo che si dovesse controllare che le due derivate parziali esistessero finite in quel punto. Ma ci sono degli esercizi in cui mi vengono risultati sbagliati usando questo metodo.
Bisogna considerare le derivate delle funzioni f(x;y del punto) e f(x del punto;y)? Per esempio f(x;0) e f(0;y) se il punto è (0;0). Anche in questo modo alcuni esercizi mi vengono sbagliati.
Per esempio la funzione:
$f(x;y)={((xy)/(x^2+y^2),if (x;y)!=0),(0,if (x;y)=0):}$
Qui i limiti delle derivate parziali nel punto (0;0) valgono $+infty$, ma la funzione dovrebbe essere derivabile in quel punto.
Invece nell'altro modo, calcolando le derivate di f(x;0) e f(0;y) viene sbagliato, per esempio, questo:
$f(x;y)={((x-y)/(x+y),if (x;y)!=0),(1,if (x;y)=0):}$
viene f(x;0)=1 e f(0;y)=-1 che sono due risultati finiti... però in questo caso la funzione non dovrebbe essere derivabile.
Insomma, ho un po' di confusione in testa sulla derivabilità. Qual'è la regola? Qual'è il metodo giusto per vedere se una qualsiasi funzione in due variabili è derivabile in un dato punto?
Inizialmente pensavo che si dovesse controllare che le due derivate parziali esistessero finite in quel punto. Ma ci sono degli esercizi in cui mi vengono risultati sbagliati usando questo metodo.
Bisogna considerare le derivate delle funzioni f(x;y del punto) e f(x del punto;y)? Per esempio f(x;0) e f(0;y) se il punto è (0;0). Anche in questo modo alcuni esercizi mi vengono sbagliati.
Per esempio la funzione:
$f(x;y)={((xy)/(x^2+y^2),if (x;y)!=0),(0,if (x;y)=0):}$
Qui i limiti delle derivate parziali nel punto (0;0) valgono $+infty$, ma la funzione dovrebbe essere derivabile in quel punto.
Invece nell'altro modo, calcolando le derivate di f(x;0) e f(0;y) viene sbagliato, per esempio, questo:
$f(x;y)={((x-y)/(x+y),if (x;y)!=0),(1,if (x;y)=0):}$
viene f(x;0)=1 e f(0;y)=-1 che sono due risultati finiti... però in questo caso la funzione non dovrebbe essere derivabile.
Insomma, ho un po' di confusione in testa sulla derivabilità. Qual'è la regola? Qual'è il metodo giusto per vedere se una qualsiasi funzione in due variabili è derivabile in un dato punto?
Risposte
Per vedere se una funzione è derivabile devi studiare le derivate parziali. Per definizione hai:
$(\partialf)/(\partialx)(0, 0) = lim_(h \rarr 0)(f(h, 0)-f(0,0))/h = lim_(h \rarr 0)(0)/h = 0$, e similmente per la $y$.
$(\partialf)/(\partialx)(0, 0) = lim_(h \rarr 0)(f(h, 0)-f(0,0))/h = lim_(h \rarr 0)(0)/h = 0$, e similmente per la $y$.
"Jab":
Per esempio la funzione:
$f(x;y)={((xy)/(x^2+y^2),if (x;y)!=0),(0,if (x;y)=0):}$
Qui i limiti delle derivate parziali nel punto (0;0) valgono $+infty$, ma la funzione dovrebbe essere derivabile in quel punto.
Devi aver fatto un errore, perché il limite viene $0$, e quindi ammette derivata parziale
Invece nell'altro modo, calcolando le derivate di f(x;0) e f(0;y) viene sbagliato, per esempio, questo:
$f(x;y)={((x-y)/(x+y),if (x;y)!=0),(1,if (x;y)=0):}$
viene f(x;0)=1 e f(0;y)=-1 che sono due risultati finiti... però in questo caso la funzione non dovrebbe essere derivabile.
Qui invece è proprio infinito
quindi non è derivabile.
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