Derivabilita di funzione x^x se x>0 ^ 1 se x=0
Salve a tutti, sto studiando questa funzione:
$f(x)={( x^x text( se ) x>0), (1 text( se ) x=0) :}$
Intuitavamente penso che il dominio sia $RR_(++)$.
Il fatto è che ho un dubbio nella derivabilità quando x=0:
Prima di tutto penso che si possa calcolare solo la derivata destra quindi già da qui penso che non sia derivabile in 0.
Cmq se volessi calcolare la derivata destra dovrebbe venire così:
$Lim_(x->0+) (1-1)/(x-0) = 0/0$ cioè indeterminata?
$f(x)={( x^x text( se ) x>0), (1 text( se ) x=0) :}$
Intuitavamente penso che il dominio sia $RR_(++)$.
Il fatto è che ho un dubbio nella derivabilità quando x=0:
Prima di tutto penso che si possa calcolare solo la derivata destra quindi già da qui penso che non sia derivabile in 0.
Cmq se volessi calcolare la derivata destra dovrebbe venire così:
$Lim_(x->0+) (1-1)/(x-0) = 0/0$ cioè indeterminata?
Risposte
Vale $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^{1-x}} = +\infty$. Pertanto $f$ non è derivabile, neppure unilateralmente da destra, nel p.to $x = 0$.
Che non sia derivabile neppure da destra ok , ma il limite del rapporto incrementale è $-oo$ ; l'espressione corretta è :
$lim_(x rarr 0^+) (( x^x)-1)/x $, che risolta con De L'Hopital dà appunto : $ -oo $.
$lim_(x rarr 0^+) (( x^x)-1)/x $, che risolta con De L'Hopital dà appunto : $ -oo $.
Si direbbe ch'io abbia assunto $f(0) := 0$. 
Ehmmm... Chiedo venia! .-.
Ehmmm... Chiedo venia! .-.
Ti credevo infallibile : e meno male che non lo sei !
"camillo":
Che non sia derivabile neppure da destra ok , ma il limite del rapporto incrementale è $-oo$ ; l'espressione corretta è :
$lim_(x rarr 0^+) (( x^x)-1)/x $, che risolta con De L'Hopital dà appunto : $ -oo $.
non frustrarmi ti prego ma quando siamo in x=0 l'immagine è 1, perchè metti X^X(come f(x))forse perchè arrivando da destra non sono ancora in 0 e quindi non posso mettere 1?
Cioè anzichè $lim_(x rarr 0^+) (( x^x)-1)/x $ io vorrei mettere $lim_(x rarr 0^+) ((1-1)/x $
giusto?
Non è corretto .
La derivata( destra) è il limite del rapporto incrementale quando l'incremento tende a $0^+$ e quindi :
$f' (x_0) =lim_(x rarr x_0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = lim_(x rarr 0^+)(x^x-1)/x $ in quanto nel caso specifico : $ x_0 = 0 , f(0) = 1$.
La derivata( destra) è il limite del rapporto incrementale quando l'incremento tende a $0^+$ e quindi :
$f' (x_0) =lim_(x rarr x_0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = lim_(x rarr 0^+)(x^x-1)/x $ in quanto nel caso specifico : $ x_0 = 0 , f(0) = 1$.
"camillo":
Non è corretto .
La derivata( destra) è il limite del rapporto incrementale quando l'incremento tende a $0^+$ e quindi :
$f' (x_0) =lim_(x rarr x_0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = lim_(x rarr 0^+)(x^x-1)/x $ in quanto nel caso specifico : $ x_0 = 0 , f(0) = 1$.
Scusa ma c'è qualcosa che non mi quadra nella testa perchè quando sono con x=0 la funzione mi restituisce come immagine il valore 1, quindi il fatto che il $lim_(x rarr 0^+)(x^x-1)/x$ mi crea qualche difficoltà. Il fatto è dovuto che in 0 non ci sto arrivando ?
Non sono sicuro di avere capito esattamente il tuo dubbio.
Partiamo dalla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale : su questa è tutto chiaro ?
Se sì, fai riferimento al mio post precedente in cui era indicato per esteso il limite da calcolare ; nel caso specifico :
$f(x) = x^x $ ; $f(x_0) = f(0) = 1 $ e quindi il limite da calcolare è :
$ lim_(x rarr 0^*+) (x^x-1)/(x-0) $ .
In $0^+ $ non ci si arriva mai, ci si deve " tendere " ; cosa succede per x = 0 non interessa, il significato di limite è proprio questo, andare cioè a vedere cosa succede infinitamente vicino a 0 , ma disinteressarsi di cosa succede per x = 0 .( i puristi non si scandalizzino..)
Partiamo dalla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale : su questa è tutto chiaro ?
Se sì, fai riferimento al mio post precedente in cui era indicato per esteso il limite da calcolare ; nel caso specifico :
$f(x) = x^x $ ; $f(x_0) = f(0) = 1 $ e quindi il limite da calcolare è :
$ lim_(x rarr 0^*+) (x^x-1)/(x-0) $ .
In $0^+ $ non ci si arriva mai, ci si deve " tendere " ; cosa succede per x = 0 non interessa, il significato di limite è proprio questo, andare cioè a vedere cosa succede infinitamente vicino a 0 , ma disinteressarsi di cosa succede per x = 0 .( i puristi non si scandalizzino..)
Grande Camillo! Ho finalmente capito! Sei un mito!!!!!
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