Derivabilità di funzione integrale
salve a tutti.. mi sn appena iscritto! frequento ingegneria informatica a catania, e dopodomani avrei l'esame di analisi 1, e vi è ancora qualke dubbio ke mi assilla. ecco, per esempio,
$\int_{1}^{x} (t-1)/(sqrt(t)*log(t)) dt$
in cui il testo mi kiede di determinare il campo di esistenza e dire se è limitata. dunque, il dominio verrebbe x<0vx>1. pertando, adesso dovrei svolgere il limite di f(t) agli estremi del dominio, sia da destra ke da sinistra: se tali limiti vanno all'infinito significa ke la funzione integrale non è limitata, altrimenti dichiaro che è limitata (non so a cosa xrò!). come funziona il mio ragionamento? vi prego di correggermi!
$\int_{1}^{x} (t-1)/(sqrt(t)*log(t)) dt$
in cui il testo mi kiede di determinare il campo di esistenza e dire se è limitata. dunque, il dominio verrebbe x<0vx>1. pertando, adesso dovrei svolgere il limite di f(t) agli estremi del dominio, sia da destra ke da sinistra: se tali limiti vanno all'infinito significa ke la funzione integrale non è limitata, altrimenti dichiaro che è limitata (non so a cosa xrò!). come funziona il mio ragionamento? vi prego di correggermi!
Risposte
L'integrando non è definito per $x<0$... quindi mi sa che devi rivedere i tuoi calcoli.
A proposito, ma il denominatore è $sqrtt*logt$ oppure $sqrt(t*logt)$?
Per la limitatezza, il discorso è un po' delicato; devi innanzitutto determinare per bene l'insieme di definizione dell'integrando, poi stabilire (eventualmente) di che tipo sono le discontinuità dell'integrando; se sei in presenza di discontinuità eliminabili o di prima specie (quelle col "salto"), allora la funzione integrale è continua; se hai discontinuità di seconda specie (presenza di asintoti verticali), devi guardare la sommabilità dell'integrando intorno al punto di discontinuità.
Inoltre, se l'insieme di definizione dell'integrando è illimitato (ossia se contiene un intervallo del tipo $[a,+oo[$ o $]-oo,b]$) devi guardare la sommabilità dell'integrando in $pm oo$.
La questione della derivabilità è risolvibile col Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale: infatti questo assicura che la tua funzione è derivabile nei punti in cui l'integrando è continuo (e la sua derivata coincide con l'integrando stesso). Perciò per determinare i punti in cui la funzione integrale è derivabile basa saper determinare i punti in cui l'integrando è continuo.
Consiglio: qualche tempo fa Camillo aveva postato una guida allo studio della funzione integrale; per maggiori informazioni guardati un po' quel thread.
Buono studio.
A proposito, ma il denominatore è $sqrtt*logt$ oppure $sqrt(t*logt)$?
Per la limitatezza, il discorso è un po' delicato; devi innanzitutto determinare per bene l'insieme di definizione dell'integrando, poi stabilire (eventualmente) di che tipo sono le discontinuità dell'integrando; se sei in presenza di discontinuità eliminabili o di prima specie (quelle col "salto"), allora la funzione integrale è continua; se hai discontinuità di seconda specie (presenza di asintoti verticali), devi guardare la sommabilità dell'integrando intorno al punto di discontinuità.
Inoltre, se l'insieme di definizione dell'integrando è illimitato (ossia se contiene un intervallo del tipo $[a,+oo[$ o $]-oo,b]$) devi guardare la sommabilità dell'integrando in $pm oo$.
La questione della derivabilità è risolvibile col Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale: infatti questo assicura che la tua funzione è derivabile nei punti in cui l'integrando è continuo (e la sua derivata coincide con l'integrando stesso). Perciò per determinare i punti in cui la funzione integrale è derivabile basa saper determinare i punti in cui l'integrando è continuo.
Consiglio: qualche tempo fa Camillo aveva postato una guida allo studio della funzione integrale; per maggiori informazioni guardati un po' quel thread.
Buono studio.
il testo è corretto. in ogni modo, seguendo la ben fatta guida di camillo non mi è uscito alcun asintoto! è mai possibile? il dominio viene per x>1, e in 1 (sia da destra ke da sinistra) il limite vale sempre 1, quindi nessun asintoto verticale (e di conseguenza orizzontale, dato ke se ne va ad infinito).. x non parlare degli obliqui. ordunque.. quali diavolo sarebbero questi estremi? ke sia un intervallo illimitato in $]1,+infty[$? in sostanza, l'integrale dovrebbe divergere, ma qualcosa continua a non tornarmi. ti ricordo ciò ke mi kiede il testo:
1. determinare il campo di esistenza
2. dire se è limitata
per il punto primo ci siamo. per quanto concerne il secondo, posso affermare ke sia illimitata, giacché $lim_{t \to \infty}(t-1)/(sqrt(t)*log(t))=+infty$??
1. determinare il campo di esistenza
2. dire se è limitata
per il punto primo ci siamo. per quanto concerne il secondo, posso affermare ke sia illimitata, giacché $lim_{t \to \infty}(t-1)/(sqrt(t)*log(t))=+infty$??
"jaskate":
il testo è corretto. in ogni modo, seguendo la ben fatta guida di camillo non mi è uscito alcun asintoto! è mai possibile? il dominio viene per x>1, e in 1 (sia da destra ke da sinistra) il limite vale sempre 1, quindi nessun asintoto verticale (e di conseguenza orizzontale, dato ke se ne va ad infinito).. x non parlare degli obliqui. ordunque.. quali diavolo sarebbero questi estremi? ke sia un intervallo illimitato in $]1,+infty[$? in sostanza, l'integrale dovrebbe divergere, ma qualcosa continua a non tornarmi. ti ricordo ciò ke mi kiede il testo:
1. determinare il campo di esistenza
2. dire se è limitata
per il punto primo ci siamo. per quanto concerne il secondo, posso affermare ke sia illimitata, giacché $lim_{t \to \infty}(t-1)/(sqrt(t)*log(t))=+infty$??
Il dominio dell'integrando ancora non è corretto... Lascio a te i conti e ti propongo una soluzione sintetica.
Hai $f(t)=(t-1)/(sqrtt*logt)$; l'insieme di definizione è $]0,+oo[-{1}$; in $0$ hai $lim_(t to 0^+) f(t)=+oo$ (perchè?), quindi non puoi prolungare l'integrando su $0$; in $1$ hai $lim_(t to 1)f(t)=1$ (perchè?), cosicchè $1$ è un punto di dicontinuità eliminabile per $f$; inoltre $lim_(t to +oo) f(t)=+oo$ epperò non ci sono asintoti obliqui (perchè?). La $f$ è ovunque positiva.
Ne viene che, adeguatamente prolungata, la funzione integranda è definita, continua e positiva in $]0,+oo[$, che ha un asintoto verticale superiore in $0$ e che non è limitata intorno a $+oo$; inoltre $f$ è di classe $C^1$ almeno in $]0,+oo[-{1}$ (perchè?).
Poniamo $F(x)=\int_1^xf(t)" d"t$.
Evidentemente $F(1)=0$ ed $F'(x)=f(x)$ in $]0,+oo[$ (perchè?).
Il $lim_(x to 0^+) F(x)$ esiste certamente (perchè?) e però per sapere se esso è finito od infinito bisogna stabilire se è finito o no l'integrale improprio $\int_1^0f(t)" d"t=-\int_0^1f(t)" d"t$: andando a fare i conti trovi che $f$ è un infinito in $0$ d'ordine $<1/2$ e perciò l'integrale improprio $\int_0^1f(t)" d"t$ esiste finito e positivo (perchè?); detto $y_0=\int_0^1f(t)" d"t>0$, hai $lim_(x to 0^+)F(x)=\int_1^0f(t)" d"t=-y_0<0$. Ne consegue che $F$ può essere prolungata su $0$; il prolungamento così definito è continuo in $[0,+oo[$ (la continuità in $0$ essendo, ovviamente, solo a destra).
Analogamente, esiste certamente $lim_(x to +oo)F(x)$ e tale limite è uguale a $+oo$ (proprio per la ragione che dicevi tu); inoltre $F$ non ha asintoti obliqui in $+oo$.
La $F$ ha derivata prima positiva (perchè?) e pertanto è strettamente crescente in $[0,+oo[$.
Per quanto riguarda lo studio della concavità, basta ricordare che $F''(x)=f'(x)$ nei punti in cui esiste il secondo membro (perchè?) e quindi basta studiare il segno di $f'$, il che non è impresa facile mi pare...
dunque.. credo (o spero) di aver capito. riassumendo, il mio dominio è (avevi ragione tu) $]0,+infty[-{1}$, pertanto devo verificare dove si riscontrano problemi: se passo al limite per $lim_{t \to \0+}f(t)=+infty$, in 0 posso studiare l'integrabilità in senso generalizzato ottenendo ke è integrabile ma non sommabile per $\alpha=1$. fuori uno. successivamente noto ke $lim_{t \to \1}f(t)=1$, ke è una discontinuità eliminabile. infine, $lim_{t \to \+infty}f(t)=+infty$, quindi complessivamente dovrei avere solo un asintoto verticale con equazione y=0, e in questo stesso punto è sommabile. pertanto dovrei presumere ke alla domanda n. 2 ("dire se è limitata") si risponda cn un bel "no, non è limitata SUPERIORMENTE". ho finalmente compreso?
"jaskate":
dunque.. credo (o spero) di aver capito. riassumendo, il mio dominio è (avevi ragione tu) $]0,+infty[-{1}$, pertanto devo verificare dove si riscontrano problemi: se passo al limite per $lim_{t \to \0+}f(t)=+infty$, in 0 posso studiare l'integrabilità in senso generalizzato ottenendo ke è integrabile ma non sommabile per $\alpha=1$. fuori uno.
Scusa, ma lo studio della sommabilità in $0$ che ho fatto io te lo sei guardato?
Ma mettere un po' di attenzione nella lettura di un post no, eh... Senza attenzione non vai da nessuna parte.
"jaskate":
successivamente noto ke $lim_{t \to \1}f(t)=1$, ke è una discontinuità eliminabile. infine, $lim_{t \to \+infty}f(t)=+infty$, quindi complessivamente dovrei avere solo un asintoto verticale con equazione y=0, e in questo stesso punto è sommabile. pertanto dovrei presumere ke alla domanda n. 2 ("dire se è limitata") si risponda cn un bel "no, non è limitata SUPERIORMENTE". ho finalmente compreso?
Alla domanda n° 2 la risposta è no, ma non c'entra nulla la presenza dell'asintoto verticale di $f$, giacchè questa presenza non esclude che $F(0)$ possa essere finito.
Ti ricordo che le due domande erano riferite alla funzione integrale $F(x)=\int_1^xf(t)" d"t$ e non all'integrando $f$.
Come ti ho fatto notare, per rispondere a tali domande devi analizzare il comportamento di $f$, però questa è solo una parte dell'esercizio; per terminare e rispondere ai due quesiti devi mettere insieme, aiutandoti con un po' della teoria studiata, tutte le informazioni che hai ricavato circa $f$ e dire qualcosa sul comportamento di $F$.
scusa, ma la sommabilità in 0 ke intendi tu non corrisponde a passare al limite? così facendo verrebbe $+infty$, condizione necessaria per procedere col confronto di integrali generalizzati, il quale confronto alla fine mi ritorna integrabile ma non sommabile. forse ho capito male io allora.. credevo tu fossi passato al limite per lo stesso motivo. nell'ultimo post hai scritto ke devo studiare il comportamento di $f$: non dovrei farlo passando al limite nei punti di discontinuità e all'infinito? probabilmente sono io scemo e non capisco!
Il comportamento dell'integrando $f(t)=(t-1)/(sqrtt*logt)$ si comporta in $0$ come la funzione ausiliaria $phi(t)=-1/(sqrtt*logt)$ (il meno è giustificato dal fatto che $f$ è positiva intorno a $0$, però se vuoi puoi anche non metterlo e rimpiazzare $phi$ con $|phi|$ in quanto segue); pertanto per concludere la sommabilità di $f$ basta analizzare quella di $phi$.
Confrontiamo $phi$ con la funzione potenza $1/t^alpha$, con $alpha>0$, anch'essa divergente positivamente in $0$: abbiamo:
$lim_(t to 0^+) (phi(t))/(1/t^alpha)=-lim_(t to 0^+) t^alpha/(sqrtt*logt)=-lim_(t to 0^+)(t^(alpha-1/2))/(log t)=\{ (0, " per " alpha ge 1/2) , (+oo, " per " 0
e perciò $phi$ è un infinito in $0$ d'ordine maggiore di $1/2$, ma non dotato di ordine rispetto a $1/t$.
Fissato $alpha=2>1/2$ ad esempio, la precedente relazione di limite implica che, in un opportuno intorno destro di $0$, risulta $0<(phi(t))/(1/t^2)le 1$ e perciò si ha $0
Ne consegue che $f(t)=(1-t)*phi(t)$ è anch'essa sommabile in $0$; pertanto esiste finito $\int_0^1f(t)" d"t =y_0>0$ (in particolare tale integrale restituisce $y_0=log3$, secondo Mathematica) e si può porre $F(0)=-y_0$.
Come vedi la funzione integrale di $f$ non ha alcun asintoto in $0$, ma anzi è ivi prolungabile con continuità da destra.
Se ti servono ulteriori spiegazioni chiedi pure.
Confrontiamo $phi$ con la funzione potenza $1/t^alpha$, con $alpha>0$, anch'essa divergente positivamente in $0$: abbiamo:
$lim_(t to 0^+) (phi(t))/(1/t^alpha)=-lim_(t to 0^+) t^alpha/(sqrtt*logt)=-lim_(t to 0^+)(t^(alpha-1/2))/(log t)=\{ (0, " per " alpha ge 1/2) , (+oo, " per " 0
e perciò $phi$ è un infinito in $0$ d'ordine maggiore di $1/2$, ma non dotato di ordine rispetto a $1/t$.
Fissato $alpha=2>1/2$ ad esempio, la precedente relazione di limite implica che, in un opportuno intorno destro di $0$, risulta $0<(phi(t))/(1/t^2)le 1$ e perciò si ha $0
Ne consegue che $f(t)=(1-t)*phi(t)$ è anch'essa sommabile in $0$; pertanto esiste finito $\int_0^1f(t)" d"t =y_0>0$ (in particolare tale integrale restituisce $y_0=log3$, secondo Mathematica) e si può porre $F(0)=-y_0$.
Come vedi la funzione integrale di $f$ non ha alcun asintoto in $0$, ma anzi è ivi prolungabile con continuità da destra.
Se ti servono ulteriori spiegazioni chiedi pure.
adesso credo sia tutto kiaro, anke se non comprendo il tuo primo limite: $lim_{t \to \0+}t^(alpha-1/2)/logt$ non dovrebbe fare 0 per $alpha ge 1/2$. a parte questo, tutto kiaro, anke se non avrei mai immaginato di trattare la funzione come una successione! grazie mille..
grazie mille..
"jaskate":
adesso credo sia tutto kiaro, anke se non comprendo il tuo primo limite: $lim_{t \to \0+}t^(alpha-1/2)/logt$ non dovrebbe fare 0 per $alpha ge 1/2$.
Ma perchè, io che ho scritto?...
$lim_(t to 0^+) t^(alpha-1/2)/(logt)=\{(0, " per " alpha ge 1/2),(+oo, " per " 0
"jaskate":
a parte questo, tutto kiaro, anke se non avrei mai immaginato di trattare la funzione come una successione!
Prego.
Ma questi sono metodi standard per l'esistenza degli integrali impropri... Guardati un po' la teoria prima di imbarcarti negli esercizi.
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