Derivabilità della funzione integrale
Per dimostrare che: data $f:[a,b]->R$ integrabile secondo Riemann, continua in un punto $c in [a,b]$, si ha che la funzione $F(x)=int_(a)^(x) f(t)dt$ è derivabile in $c$ e vale $F'(c)=f(c)$, si può usare il teorema delle media in questo modo?
$(F(x)-F(c))/(x-c)=(int_(c)^(x) f(t)dt)/(x-c)=(*)$ so che esiste un valore $lambda in [Inf_(t in [x,c]) f(t), Sup_(t in [x,c]) f(t)]$ tale che $(*)=lambda(x-c)/(x-c)=lambda$. Per $x->c$ e per la continuità dell'integranda in $c$ si ha $lambda=f(c)$.
E' corretto? Come si può giustificare bene?
$(F(x)-F(c))/(x-c)=(int_(c)^(x) f(t)dt)/(x-c)=(*)$ so che esiste un valore $lambda in [Inf_(t in [x,c]) f(t), Sup_(t in [x,c]) f(t)]$ tale che $(*)=lambda(x-c)/(x-c)=lambda$. Per $x->c$ e per la continuità dell'integranda in $c$ si ha $lambda=f(c)$.
E' corretto? Come si può giustificare bene?
Risposte
Io ragionerei così.
Fissato $\epsilon >0$ esiste $\delta > 0$ t.c. $|f(x) - f(c)| < \epsilon$ per ogni $x\in I := (c-\delta, c+\delta)$.
In particolare, se $x\in I$, $x\ne c$, avrai che
$f(c) - \epsilon \le \frac{1}{x-c} \int_c^x f(t) dt \le f(c) + \epsilon$.
Fissato $\epsilon >0$ esiste $\delta > 0$ t.c. $|f(x) - f(c)| < \epsilon$ per ogni $x\in I := (c-\delta, c+\delta)$.
In particolare, se $x\in I$, $x\ne c$, avrai che
$f(c) - \epsilon \le \frac{1}{x-c} \int_c^x f(t) dt \le f(c) + \epsilon$.
Grazie della risposta Rigel!
Però il punto è che quando scrivi l'ultima disuguaglianza, cosa ti assicura che quell'$f(c)$ sia proprio $f(c)$?
Voglio dire: non volendo usare il teorema della media potrei sommare e sottrarre $f(c)$ e sfruttare direttamente la continuità nel punto.
Il problema è che nella tua disuguaglianza, sembra scontato che il valore $lambda$ del teorema della media sia $f(c)$.
Oppure non ho capito il passaggio.
Io pensavo di considerare il fatto che siccome l'intervallino di integrazione tende ad essere il solo punto $c$ e la funzione è continua in quel punto, allora potrei dire che $lambda=f(c)$, però non sono certo di poter applicare il teorema della media così.
Però il punto è che quando scrivi l'ultima disuguaglianza, cosa ti assicura che quell'$f(c)$ sia proprio $f(c)$?
Voglio dire: non volendo usare il teorema della media potrei sommare e sottrarre $f(c)$ e sfruttare direttamente la continuità nel punto.
Il problema è che nella tua disuguaglianza, sembra scontato che il valore $lambda$ del teorema della media sia $f(c)$.
Oppure non ho capito il passaggio.
Io pensavo di considerare il fatto che siccome l'intervallino di integrazione tende ad essere il solo punto $c$ e la funzione è continua in quel punto, allora potrei dire che $lambda=f(c)$, però non sono certo di poter applicare il teorema della media così.
Se definisci la media integrale
$\lambda(x) = \frac{1}{x-c} \int_c^x f(t) dt$, $x\ne c$,
la disuguaglianza del post precedente ti dice che:
per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che $|\lambda(x) - f(c)| < \epsilon$ per ogni $x\in (c-\delta, c+\delta)$, $x\ne c$.
Se ci pensi, questo equivale a dire che $\lim_{x\to c} \lambda(x) = f(c)$, che è esattamente quello che ti serve.
$\lambda(x) = \frac{1}{x-c} \int_c^x f(t) dt$, $x\ne c$,
la disuguaglianza del post precedente ti dice che:
per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che $|\lambda(x) - f(c)| < \epsilon$ per ogni $x\in (c-\delta, c+\delta)$, $x\ne c$.
Se ci pensi, questo equivale a dire che $\lim_{x\to c} \lambda(x) = f(c)$, che è esattamente quello che ti serve.
Infatti non avevo capito il passaggio!
Grazie mille, ora è cristallino!
Grazie mille, ora è cristallino!
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