Derivabilità della funzione complessa $z^b$
Sono decisamente alle prime armi in analisi complessa, e mi trovo di fronte a questo dilemma sulla derivabilità della funzione $f(z)=z^b$: da quello che ho capito, se $b$ è un numero complesso, riscrivo la funzione in termini del logaritmo principale e vedo che la $f$ non è derivabile lungo il semiasse negativo dei reali.
Ma cosa succede se invece $b$ è un numero reale?
In questo caso penso che potrei scrivere $z^b=r^be^{ib\theta}$ e non vedo punti dove non sia derivabile, a parte lo zero...
Ma cosa succede se invece $b$ è un numero reale?
In questo caso penso che potrei scrivere $z^b=r^be^{ib\theta}$ e non vedo punti dove non sia derivabile, a parte lo zero...
Risposte
Piano piano vedo di superare le mie lacune in materia 
Se scrivo la funzione $z^b$ in forma esponenziale, osservo che risulta $z^b=r^be^{ib\cdot\ Arg z}$, e la funzione $Arg\ z$, guarda caso, non è continua sul semiasse negativo delle ascisse, quindi su questo asse la $z^b$ non può essere derivabile anche con $b$ numero reale... Dico bene?
Riassumendo, giusto per completezza, direi che la funzione $f(z)=z^b$ è:
- derivabile ovunque se $b$ è un numero naturale;
- derivabile ovunque tranne in zero se $b$ è un numero intero;
- derivabile fuori dal semiasse negativo delle $x$ in tutti gli altri casi.
Se scrivo la funzione $z^b$ in forma esponenziale, osservo che risulta $z^b=r^be^{ib\cdot\ Arg z}$, e la funzione $Arg\ z$, guarda caso, non è continua sul semiasse negativo delle ascisse, quindi su questo asse la $z^b$ non può essere derivabile anche con $b$ numero reale... Dico bene?
Riassumendo, giusto per completezza, direi che la funzione $f(z)=z^b$ è:
- derivabile ovunque se $b$ è un numero naturale;
- derivabile ovunque tranne in zero se $b$ è un numero intero;
- derivabile fuori dal semiasse negativo delle $x$ in tutti gli altri casi.
Aspetta un attimo.
Non è vero che \(f(z):=z^b\) non sia derivabile...
Innanzitutto, nota che la funzione \(f_b\) è monodroma (o univoca, che dir si voglia) se e solo se \(b\in \mathbb{Z}\), mentre è polidroma (o plurivoca, che dir si voglia) se \(b\notin \mathbb{Z}\).
In particolare, nel caso della polidromia (i.e., per \(b\notin \mathbb{Z}\)), la \(f_b\) ha un numero finito di determinazioni se \(b\in \mathbb{Q}\) ed ha infinite determinazioni se \(b\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{Q}\): tali determinazioni vengono individuate da corrispondenti determinazioni della funzione polidroma \(\operatorname{arg} z\).
Ad esempio, considerando:
\[
f_2(z) := z^2,\quad f_{-3} (z):= \frac{1}{z^3},\quad f_{1/2} (z) := z^{1/2},\quad f_\imath (z) = z^\imath
\]
si vede che le prime due funzioni associano ad ogni \(z\) nel dominio un unico valore di \(f_2(z)\) ed \(f_{-3} (z)\); la terza funzione associa ad ogni \(z\neq 0\) due valori distinti, il primo dei quali si ottiene considerando \(\operatorname{arg} z \in [0,2\pi[\), il secondo considerando \(\operatorname{arg} z \in [2\pi, 4\pi[\); la quarta funzione associa ad ogni \(z\) nel dominio infiniti valori distinti, dati da \(\exp (-\operatorname{arg} z + \imath \ln |z|)\) (qui \(\ln\) è il logaritmo naturale reale), ognuno corrispondente ad una determinazione di \(\operatorname{arg} z\) (i.e., alla scelta di un intervallo el tipo \([2k\pi, 2(k+1)\pi[\) con \(k\in \mathbb{Z}\) in cui prendere \(\operatorname{arg} z\)).
Ora, nel caso di polidromia (i.e., \(b\notin \mathbb{Z}\)), si vede che ogni determinazione monodroma della funzione \(f_b\) è olomorfa nell'interno della regione dov'è definita; e che due determinazioni consecutive di \(f_b\) si raccordano in maniera "buona" sulle frontiere delle rispettive regioni di olomorfia.
Presentandosi questa eventualità, si dice che la funzione polidroma \(f_b\) è una funzione polidroma olomorfa.
Non è vero che \(f(z):=z^b\) non sia derivabile...
Innanzitutto, nota che la funzione \(f_b\) è monodroma (o univoca, che dir si voglia) se e solo se \(b\in \mathbb{Z}\), mentre è polidroma (o plurivoca, che dir si voglia) se \(b\notin \mathbb{Z}\).
In particolare, nel caso della polidromia (i.e., per \(b\notin \mathbb{Z}\)), la \(f_b\) ha un numero finito di determinazioni se \(b\in \mathbb{Q}\) ed ha infinite determinazioni se \(b\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{Q}\): tali determinazioni vengono individuate da corrispondenti determinazioni della funzione polidroma \(\operatorname{arg} z\).
Ad esempio, considerando:
\[
f_2(z) := z^2,\quad f_{-3} (z):= \frac{1}{z^3},\quad f_{1/2} (z) := z^{1/2},\quad f_\imath (z) = z^\imath
\]
si vede che le prime due funzioni associano ad ogni \(z\) nel dominio un unico valore di \(f_2(z)\) ed \(f_{-3} (z)\); la terza funzione associa ad ogni \(z\neq 0\) due valori distinti, il primo dei quali si ottiene considerando \(\operatorname{arg} z \in [0,2\pi[\), il secondo considerando \(\operatorname{arg} z \in [2\pi, 4\pi[\); la quarta funzione associa ad ogni \(z\) nel dominio infiniti valori distinti, dati da \(\exp (-\operatorname{arg} z + \imath \ln |z|)\) (qui \(\ln\) è il logaritmo naturale reale), ognuno corrispondente ad una determinazione di \(\operatorname{arg} z\) (i.e., alla scelta di un intervallo el tipo \([2k\pi, 2(k+1)\pi[\) con \(k\in \mathbb{Z}\) in cui prendere \(\operatorname{arg} z\)).
Ora, nel caso di polidromia (i.e., \(b\notin \mathbb{Z}\)), si vede che ogni determinazione monodroma della funzione \(f_b\) è olomorfa nell'interno della regione dov'è definita; e che due determinazioni consecutive di \(f_b\) si raccordano in maniera "buona" sulle frontiere delle rispettive regioni di olomorfia.
Presentandosi questa eventualità, si dice che la funzione polidroma \(f_b\) è una funzione polidroma olomorfa.
Ma allora cose come questa, cioè che la funzione "radice quadrata" è olomorfa dove lo è il logaritmo, come le devo intendere?
Ti dico magari che il mio obiettivo è quello di utilizzare il teorema di integrazione di Cauchy-Goursat, dove è presente l'ipotesi che la funzione da integrare sia olomorfa. Ecco, io pensavo che questo teorema non fosse applicabile su circuiti passanti attraverso i raccordi di cui parli perché appunto lì la funzione non è derivabile... Dove sbaglio?
Ti dico magari che il mio obiettivo è quello di utilizzare il teorema di integrazione di Cauchy-Goursat, dove è presente l'ipotesi che la funzione da integrare sia olomorfa. Ecco, io pensavo che questo teorema non fosse applicabile su circuiti passanti attraverso i raccordi di cui parli perché appunto lì la funzione non è derivabile... Dove sbaglio?
Le devi intendere come ti ho detto sopra.
Affinché una funzione polidroma sia analitica è necessario per definizione che, non appena fissi una sua determinazione monodroma, tale determinazione è olomorfa lì dove definita.
Ad esempio, ogni determinazione monodroma della radice si ottiene eliminando dal piano di Gauss una qualsiasi curva semplice che si diparte da $0$ ed arriva in $\infty$* (poiché così facendo "impedisci" alla variabile $z$ di "ruotare attorno" al punto di diramazione $0$) e fissando, in maniera corrispondente, una determinazione dell'argomento della variabile*.
Se elimini dal piano il semiasse reale positivo e fissi per l'argomento la determinazione che prende valori in \(]0,2\pi[\) (cioè fissi \(\operatorname{arg} z = \operatorname{Arg} z\), l'argomento principale), ottieni la determinazione principale della radice, cioè quella che assegna:
\[
\phi (z) = \sqrt{|z|}\ \left( \cos \frac{\operatorname{Arg} z}{2} +\imath\ \sin \frac{\operatorname{Arg} z}{2}\right)\; ;
\]
invece, se scegli di escludere il semiasse immaginario positivo e prendere la determinazione dell'argomento che prende valori in \(]-3/2 \pi , \pi/2[\), ottieni la daterminazione della radice che assegna:
\[
\psi (z) = \sqrt{|z|}\ \left( \cos \frac{\operatorname{arg} z}{2} +\imath\ \sin \frac{\operatorname{arg} z}{2}\right).
\]
Evidentemente \(\phi\) e \(\psi\) sono due determinazioni distinte di \(f(z)=\sqrt{z}\)**, poiché esse differiscono già per l'insieme di definizione; ma addirittura tali determinazioni non concordano sul valore da associare a $z$ in tutti i punti dell'intersezione dei loro rispettivi domini. Ad esempio, queste due determinazioni sono entrambe definite nel quarto quadrante aperto del piano di Gauss, i.e. nell'insieme definito dalle limitazioni \(\Re e (z)>0,\ \Im m (z)<0\), però preso un numero \(z\) in tale regione si vede che \(\phi (z)\neq \psi (z)\): e.g, scelto \(z=1-\imath\) si trova:
\[
\begin{split}
\phi (1-\imath) &= \sqrt[4]{2}\ \left( \cos \frac{7\pi}{8} +\imath\ \sin \frac{7\pi}{8} \right)\\
\psi (1-\imath) &= \sqrt[4]{2}\ \left( \cos \frac{-\pi}{8} +\imath\ \sin \frac{-\pi}{8} \right)
&= -\phi (1-\imath)\; .
\end{split}
\]
Tuttavia, sia \(\phi\) sia \(\psi\) sono funzioni olomorfe di \(z\) nei loro rispettivi aperti di definizione (lo puoi anche mostrare direttamente, facendo vedere che il laplaciano in coordinate poalri delle funzioni parte reale e coefficiente dell'immaginario di \(\phi\) e \(\psi\) è nullo).
Questo non è un caso, perché la funzione \(f(z):=\sqrt{z}\) è polidroma analitica.
Per venire a Cauchy-Goursat, il problema non sono i tagli nel piano ma i punti di diramazioni...
Insomma, l'integrazione di una funzione polidroma analitica si può sempre fare col teorema di Cauchy a patto che siano soddisfatte le ipotesi. Per usarlo, devi fare in modo che la regione interna al tuo circuito non contenga punti singolari per la funzione polidroma: ciò si fa proprio "tagliando" il piano e fissando una opportuna determinazione monodroma della funzione assegnata.
Ad esempio, supponiamo che tu voglia integrare la funzione \(f(z)=\sqrt{z}\) lungo una circonferenza di centro $1-\imath$ e raggio $r>0$.
Se $0$ sta nella regione delimitata dalla circonferenza, il teorema di Cauchy è inapplicabile.
Se invece $0$ non sta nella regione delimitata dalla circonferenza, puoi applicare Cauchy a patto di scegliere una determinazione monodroma olomorfa di $f$: ciò si può fare, poiché puoi sempre "tagliare" il piano lungo una curva semplice che si diparte da $0$ ed arriva a $\infty$ che non intersechi la circonferenza scelta.
Fatto il taglio, qualunque determinazione scegli per la $f$ troverai che l'integrale è nullo.
__________
* Il che, come sai, equivale a fissare una precisa determinazione del logaritmo, giacché \(\log z = \ln |z| +\imath\ \operatorname{arg} z\).
** Sono determinazioni di $f$ poiché $\phi^2 (z)=z=\psi^2 (z)$.
Affinché una funzione polidroma sia analitica è necessario per definizione che, non appena fissi una sua determinazione monodroma, tale determinazione è olomorfa lì dove definita.
Ad esempio, ogni determinazione monodroma della radice si ottiene eliminando dal piano di Gauss una qualsiasi curva semplice che si diparte da $0$ ed arriva in $\infty$* (poiché così facendo "impedisci" alla variabile $z$ di "ruotare attorno" al punto di diramazione $0$) e fissando, in maniera corrispondente, una determinazione dell'argomento della variabile*.
Se elimini dal piano il semiasse reale positivo e fissi per l'argomento la determinazione che prende valori in \(]0,2\pi[\) (cioè fissi \(\operatorname{arg} z = \operatorname{Arg} z\), l'argomento principale), ottieni la determinazione principale della radice, cioè quella che assegna:
\[
\phi (z) = \sqrt{|z|}\ \left( \cos \frac{\operatorname{Arg} z}{2} +\imath\ \sin \frac{\operatorname{Arg} z}{2}\right)\; ;
\]
invece, se scegli di escludere il semiasse immaginario positivo e prendere la determinazione dell'argomento che prende valori in \(]-3/2 \pi , \pi/2[\), ottieni la daterminazione della radice che assegna:
\[
\psi (z) = \sqrt{|z|}\ \left( \cos \frac{\operatorname{arg} z}{2} +\imath\ \sin \frac{\operatorname{arg} z}{2}\right).
\]
Evidentemente \(\phi\) e \(\psi\) sono due determinazioni distinte di \(f(z)=\sqrt{z}\)**, poiché esse differiscono già per l'insieme di definizione; ma addirittura tali determinazioni non concordano sul valore da associare a $z$ in tutti i punti dell'intersezione dei loro rispettivi domini. Ad esempio, queste due determinazioni sono entrambe definite nel quarto quadrante aperto del piano di Gauss, i.e. nell'insieme definito dalle limitazioni \(\Re e (z)>0,\ \Im m (z)<0\), però preso un numero \(z\) in tale regione si vede che \(\phi (z)\neq \psi (z)\): e.g, scelto \(z=1-\imath\) si trova:
\[
\begin{split}
\phi (1-\imath) &= \sqrt[4]{2}\ \left( \cos \frac{7\pi}{8} +\imath\ \sin \frac{7\pi}{8} \right)\\
\psi (1-\imath) &= \sqrt[4]{2}\ \left( \cos \frac{-\pi}{8} +\imath\ \sin \frac{-\pi}{8} \right)
&= -\phi (1-\imath)\; .
\end{split}
\]
Tuttavia, sia \(\phi\) sia \(\psi\) sono funzioni olomorfe di \(z\) nei loro rispettivi aperti di definizione (lo puoi anche mostrare direttamente, facendo vedere che il laplaciano in coordinate poalri delle funzioni parte reale e coefficiente dell'immaginario di \(\phi\) e \(\psi\) è nullo).
Questo non è un caso, perché la funzione \(f(z):=\sqrt{z}\) è polidroma analitica.
Per venire a Cauchy-Goursat, il problema non sono i tagli nel piano ma i punti di diramazioni...
Insomma, l'integrazione di una funzione polidroma analitica si può sempre fare col teorema di Cauchy a patto che siano soddisfatte le ipotesi. Per usarlo, devi fare in modo che la regione interna al tuo circuito non contenga punti singolari per la funzione polidroma: ciò si fa proprio "tagliando" il piano e fissando una opportuna determinazione monodroma della funzione assegnata.
Ad esempio, supponiamo che tu voglia integrare la funzione \(f(z)=\sqrt{z}\) lungo una circonferenza di centro $1-\imath$ e raggio $r>0$.
Se $0$ sta nella regione delimitata dalla circonferenza, il teorema di Cauchy è inapplicabile.
Se invece $0$ non sta nella regione delimitata dalla circonferenza, puoi applicare Cauchy a patto di scegliere una determinazione monodroma olomorfa di $f$: ciò si può fare, poiché puoi sempre "tagliare" il piano lungo una curva semplice che si diparte da $0$ ed arriva a $\infty$ che non intersechi la circonferenza scelta.
Fatto il taglio, qualunque determinazione scegli per la $f$ troverai che l'integrale è nullo.
__________
* Il che, come sai, equivale a fissare una precisa determinazione del logaritmo, giacché \(\log z = \ln |z| +\imath\ \operatorname{arg} z\).
** Sono determinazioni di $f$ poiché $\phi^2 (z)=z=\psi^2 (z)$.
Che dire? Il tuo messaggio qui sopra me lo sono stampato 
E ho scoperto nell'occasione che mathjax non rende molto bene in fase di stampa...
E ho scoperto nell'occasione che mathjax non rende molto bene in fase di stampa...
E' un piacere leggerti, gugo...
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