Derivabilità
Un altro mistero......
f(x) =$\[(sin x se x>0),(x se x<=0):]$ nel punto x=0 è derivabile due volte.....come può essere possibile?!
f(x) =$\[(sin x se x>0),(x se x<=0):]$ nel punto x=0 è derivabile due volte.....come può essere possibile?!
Risposte
E' possibile in quanto le due " parti " della funzione si raccordano bene in $ x=0 $ .
La funzione $f(x) $ è continua in $ x=0 $ in quuanto $lim_(x rarr 0^(+)) senx = 0 =f(0)$.
E' amche derivabile sempre in $x=0 $ perchè $f'(x) = cos x $ per $x>0 $ , mentre $ f'(x)= 1 $ per $ x<=0 $ e quindi $lim_(x rarr 0^(+))cos x = 1 $ .
Analogamente per la derivata seconda che vale $0 $ in $ x=0 $.
La funzione $f(x) $ è continua in $ x=0 $ in quuanto $lim_(x rarr 0^(+)) senx = 0 =f(0)$.
E' amche derivabile sempre in $x=0 $ perchè $f'(x) = cos x $ per $x>0 $ , mentre $ f'(x)= 1 $ per $ x<=0 $ e quindi $lim_(x rarr 0^(+))cos x = 1 $ .
Analogamente per la derivata seconda che vale $0 $ in $ x=0 $.
grazie mille!!!!!
Verificare che la funzione sia derivabile in 0 vuol dire verificare che esista e sia finito il limite del rapporto incrementale (che non è altro che la definizione).
In questo caso bisogna fare 2 limiti: da sinistra e da destra, per verificare che esistano e siano uguali. Se accade allora la funzione è derivabile in 0, e il valore comune è la derivata.
Inoltre si verifica che: calcolata la derivata prima per $x<0$ e $x>0$, se esistono i limiti delle due derivate in 0, e se sono uguali, coincidono col limite del rapporto incrementale. (che poi è quel che fa Camillo)
Nel tuo caso: a sinistra di 0 la derivata è $1$ (e $lim_(x to 0) 1=1$) e a destra di 0 è $cosx$ ( $lim_(x to 0) cosx=1$)
Quindi la funzione è derivabile.
Dire che è derivabile due volte vuol dre che esiste la derivata seconda...
Edit: c'ho messo un po' a rispondere e non ho visto la risposta di Camillo...
In questo caso bisogna fare 2 limiti: da sinistra e da destra, per verificare che esistano e siano uguali. Se accade allora la funzione è derivabile in 0, e il valore comune è la derivata.
Inoltre si verifica che: calcolata la derivata prima per $x<0$ e $x>0$, se esistono i limiti delle due derivate in 0, e se sono uguali, coincidono col limite del rapporto incrementale. (che poi è quel che fa Camillo)
Nel tuo caso: a sinistra di 0 la derivata è $1$ (e $lim_(x to 0) 1=1$) e a destra di 0 è $cosx$ ( $lim_(x to 0) cosx=1$)
Quindi la funzione è derivabile.
Dire che è derivabile due volte vuol dre che esiste la derivata seconda...
Edit: c'ho messo un po' a rispondere e non ho visto la risposta di Camillo...
Gaal Dormik sei stato MOLTO esaustivo...!!!! sai spiegare benissimo!!!! grazie!
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