Derivabilità

[n.icola114]

Ciao,
ho un piccolo dubbio, può essere una funzione derivabile in tutto un intorno di un punto $x_0$ e la derivata prima non essere continua in $x_0$ ?
Per adesso mi sembra di no, però magari sto sbagliando

[Gabriel6]

Considera la funzione $f: RR \to RR: x \to |x|$. Se $U$ è un intorno completo del punto $x_0 = 0$, allora $f$ è derivabile (con continuità) in ogni $x \in U$ \ $\{x_0\}$. Ciò nondimeno, $f'$ presenta in $x_0$ (dove non è definita) una discontinuità con salto.

[n.icola114]

Scusa Gabriel ma cosi è derivabile ovunque però non in $x_0 = 0$ è quindi non è derivabile in tutto un intorno di $x_0$

[Gabriel6]

Pardon, ho risposto senza aver capìto la domanda. Prendi la funzione $f: RR \to RR$ definita assumendo $f(0) = 0$ ed $f(x) = x^2 \cdot \sin(1/x)$, per $x \ne 0$. Vale $\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} h \cdot\sin(1/h) = 0$, per cui $f$ è derivabile in $x_0 = 0$ ed $f'(0) = 0$. D'altronde, se $x \ne 0$: $f'(x) = \frac{2f(x)}{x} - \cos(1/x)$, per cui $f$, di fatto, è derivabile anche in ogni intorno di $x_0$. Tuttavia, $f'$ non è continua in $x_0$, perché il limite $\lim_{x \to 0} f'(x)$ non esiste.

[n.icola114]

Ok, penso sia chiaro adesso
grazie Gabriel e buona giornata, ciao

[ViciousGoblin]

Forse è utile aggiungere che la "difficoltà" a trovare l'esempio ha una motivazione.
In effetti se $f$ è continua in $x_0$, derivabile vicino a $x_0$ e se ESISTE
il limite $l=\lim_{x\to x_0}f'(x)$, allora $f$ è derivabile in $x_0$ e si ha
$f'(x_0)=l$. Questa è una semplice conseguenza del teorema di Lagrange (o se
vuoi puoi applicare de l'Hospital).
Quindi per trovare il controesempio devi cercare una situazione in cui
il limite sopra NON ESISTE - come ti ha egregiamente mostrato gabriel.