Derivabilità

[Kobra1]

ho $xsqrt(x)$, devo trovare dove è derivabile ma non so come fare, cioè so come si fa quando mi dà il punto l'esercizio (es verifica se la funzione è derivabile in $xo=1$) ma cosi non so da dove iniziare!come potrei fare?

[Sk_Anonymous]

"Kobra":ho $xsqrt(x)$, devo trovare dove è derivabile ma non so come fare, cioè so come si fa quando mi dà il punto l'esercizio (es verifica se la funzione è derivabile in $xo=1$) ma cosi non so da dove iniziare!come potrei fare?

Prima di tutto devi calcolarne il dominio che è $x>=0$, dopo di che calcoli la derivata con la solita formuletta, ponendo $x>0$, perchè puoi arrivare a zero solo da destra. Si vede che la derivata appena calcolata è continua perchè è il prodotto di una costante per una funzione continua, ma questo vale solo per $x>0$. A questo punto non resta altro che calcolare la derivabilità in $x_0=0$

[Kobra1]

ah ok devo calcolare il dominio e verificare la derivabilità in quel punto
tante grazie

[DaveS1]

Scusate se mi intrometto.Anch'io ho un problema di derivabilità:

quando mi si dice ad esempio:
"Stabilire, motivando la risposta, per quali valori di x risulta derivabile la funzione:
$|x^2-5x+9/4|$ "

come si deve procedere?
la funzione è definita in tutto R, corretto?

come faccio a stabilire i valori per cui è derivabile?
dovrei applicare il limite del rapporto incrementale per un punto x generico?

Grazie

[Camillo]

Esplicita il modulo... otterrai due espressioni analitiche differenti e poi vai a vedere come si comporta la derivata nei punti che fanno da frontiera tra una espressione e l'altra e vedrai che ci sono due punti angolosi nei quali cioè la funzione non è derivabile, avrà una derivata destra diversa da quella sinistra..

[Megan00b]

Teoricamente sì, ma avendo l'espressione analitica della funzione ti conviene provare a derivare e vedere dove la derivata che ottieni è definita. In quei punti ci sarà derivabilità. Ovviamente dando per scontato che nei suddetti punti la funzione sia continua e che non siano punti di frontiera per il dominio nei quali va svolta un'analisi più approfondita (es.. derivate destra e sinistra).
Nel tuo caso la funzione è definita e continua in $RR$. Quindi puoi applicare quanto ti ho detto. Prestando attenzione al fatto che la derivazione del valore assoluto non avviene in $RR$ ma in $RR^+$ e in $RR^-$ quindi nei punti in cui l'argomento del valore assoluto non è nullo.

Puoi anche vederla così:
|.| è derivabile in $RR-{0}$
il trinomio è derivabile in $RR$
quindi la composizione è derivabile dove il trinomio non è 0.

[DaveS1]

Approfitto ancora della vostra disponibilità...

Vediamo se ho capito,
allora se io derivo il polinomio avrò $y'=2x+-5$ quindi la derivata non è definita nei punti $+- 5/2$...
Quindi la mia funzione è derivabile in tutto $R - {+-5/2}$?
Se rispondessi così all' esame la prof mi lincerebbe???????

Grazie

[Camillo]

No, non è corretto quanto dici.
Come ti ha detto Megan00b la funzione non è derivabile dove è nulla , cioè in $x=1/2 ,9/2$ che è dove appunto si annulla .
Infatti $ x^2-5x+9/4 =0 $ ha quei punti come radici.
Devi sciogliere il modulo , considerare cioè che $|x^2 -5x+9/4 | = x^2-5x+9/4 $ per $ x>9/2 U x<1/2 $
mentre vale $ -x^2+5x-9/4 $ per $ 1/2 Vedaimo cosa succede alle derivate nel punto $x = 1/2 $ ad esempio .
Calcoliamo le due derivate, ognuna valida nel suo intervallo.
Sono ordinatamente : $2x-5 $ nel primo intervallo e $-2x+5 $ nel secondo intervallo.
La derivata sinistra sarà : $2*1/2-5= -4 $( considero l'espressione della derivata relativa al primo intervallo )
La derivata destra sarà : $ -2*1/2+5= 4 $derivata destra e sinistra nel punto $x=1/2$ sono diverse e quindi in quel punto la funzione non è derivabile.
Discorso analogo per l'altro punto $ x=9/2$.

[DaveS1]

Ok, quindi la funzione non è derivabile dove è nulla e non dove la sua derivata si annulla...

La risposta corretta e completa sarà quindi:
Dato che il valore assoluto è derivabile in $R-{0}$, ed il trinomio è derivabile in $R$ allora la funzione sarà derivabile in $R-{0}$.

E da qui tutti i calcoli per dimostrarlo....

Grazie davvero a tutti

[Camillo]

Per maggiore chiarezza diciamo che il dominio in cui la funzione è derivabile è : $RR-(1/2 ; 9/2 ) $ ;dire
che è $ RR-(0)$ mi sembra confondere dominio e codominio della funzione .

[DaveS1]

Chiarissimo, grazie

[Gp741]

Per trovare i punti di derivabilità di una funzione è facile. Infatti i teoremi sulle operazioni con derivate ci assicurano che la somma , la differenza, il prodotto e il quoziente (ma anche una funzione composta e le funzioni inverse) di due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ derivabili in tutto il loro dominio è ankora una funzione derivabile. Dato che quasi tutte le funzioni elementari sono derivabili in tutto il loro dominio la loro somma, differenza prodotto ecc. è sempre una funzione derivabile in tutto il dominio (in virtù dei teoremi sulle operazioni con le derivate). Le uniche funzioni elementari che presentano punti di non derivabilità sono 4: La funzione valore assoluto $y=|x|$ non derivabile nei punti in cui l'argomento è zero, $y=arcsen x$ non derivabile in $x=1, x=-1$, $y=arccosx$ non derivabile in $x=1, x=-1$, e infine $y=x^a, con 0

Cita

Segnala