Derivabilità
ho un problema... se studiando la funzione trovo che la derivata prima non è definita in alcuni punti per i quali invece la funzione è definita come tratto quei punti?
grazie
grazie
Risposte
Come punti di non derivabilità: punto angoloso, punto di flesso a tangente verticale, o punti di cuspide.
Innanzitutto auguri a tutti gli utenti di questo forum.
Il fatto che una funzione non sia derivabile in un punto ti dice che quello è un punto in cui la tangente al grafico è "strana".
Devi allora analizzare in che senso è strana. Ad esempio:
la funzione $sqrtx$ non è derivabile in 0. La sua derivata in $RR^+$ è la funzione $1/(2sqrtx)$ che infatti non è definita in 0. Se provi a fare il limite a zero da destra della derivata ottieni $+oo$. Interpretando la derivata come il coefficiente angolare della retta tangente al grafico questo ti dice che più ti avvicini a zero più la funzione si impenna fino a diventare quasi verticale. D'altronde per x<0 la funzione non è proprio definita quindi non puoi avere nemmeno la derivata sinistra in 0 quindi manca la derivata bilatera. Però anche se non è propriamente derivabile l'assenza di derivata ti dà informazioni su come si comporta la funzione. Un altro esempio classico è lafunzione $|x|$ che ha in 0 derivata sinistra -1 e derivata destra 1. Infatti il grafico di questa funzione è fatto da due semirette che partono dall'origine (bisettrici del primo e secondo quadrante). Quindi se volessi seguire (con continuità) il coefficiente angolare della retta tangente al grafico mentre ti avvicini a 0 avresti una rottura in 0 perchè passa da -1 a 1 improvvisamente.
Morale della favola: se una funzione è derivabile da quella hai informazioni su crescita e decrescita, punti stazionari ecc...
Se non è derivabile sai che il grafico della funzione tende a diventare "verticale" o che si interrompe in un punto perchè oltre non è definita la funzione.
Se hai qualche esempio che non sai come trattare postalo.
Il fatto che una funzione non sia derivabile in un punto ti dice che quello è un punto in cui la tangente al grafico è "strana".
Devi allora analizzare in che senso è strana. Ad esempio:
la funzione $sqrtx$ non è derivabile in 0. La sua derivata in $RR^+$ è la funzione $1/(2sqrtx)$ che infatti non è definita in 0. Se provi a fare il limite a zero da destra della derivata ottieni $+oo$. Interpretando la derivata come il coefficiente angolare della retta tangente al grafico questo ti dice che più ti avvicini a zero più la funzione si impenna fino a diventare quasi verticale. D'altronde per x<0 la funzione non è proprio definita quindi non puoi avere nemmeno la derivata sinistra in 0 quindi manca la derivata bilatera. Però anche se non è propriamente derivabile l'assenza di derivata ti dà informazioni su come si comporta la funzione. Un altro esempio classico è lafunzione $|x|$ che ha in 0 derivata sinistra -1 e derivata destra 1. Infatti il grafico di questa funzione è fatto da due semirette che partono dall'origine (bisettrici del primo e secondo quadrante). Quindi se volessi seguire (con continuità) il coefficiente angolare della retta tangente al grafico mentre ti avvicini a 0 avresti una rottura in 0 perchè passa da -1 a 1 improvvisamente.
Morale della favola: se una funzione è derivabile da quella hai informazioni su crescita e decrescita, punti stazionari ecc...
Se non è derivabile sai che il grafico della funzione tende a diventare "verticale" o che si interrompe in un punto perchè oltre non è definita la funzione.
Se hai qualche esempio che non sai come trattare postalo.
ok grazie milla e auguri anche a voi
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