Derivabilita'
Ho visto che su questo forum siete molto gentili... e dato che domani ho l'esame di Calcolo Differenziale ne approfitto per chiarirmi un po' le idee...
L'esercizio è il seguente:
Per quali valori di a e di b la seguente funzione è continua su tutto l'asse reale? E per quali valori di a e di b è derivabile?
e^x per x >= 1
f(x)= ax per 0<=x<1
arctan(bx) per x<0
Ho ragionato così:
Il limite per x->1 di e^x è uguale ad e
il limite per x->1 di ax deve essere uguale ad e, quindi a=e
lim per x->0 di ax => a puo' assumere qualsiasi valore, quindi e è accettabile
lim per x->0 arctan(bx) b puo' assumere qualsiasi valore su R
quindi f(x) è continua su R quando a=e e per ogni b appartenente ai reali. E' giusto il ragionamento?
Quello che invece non so fare è la derivabilità!
Provo a fare il limite del rapporto incrementale
lim x->0+ (e^(x+h) - e^x)/h e mi viene 0/h = 0
lim x->0- ((ex+h)-ex) /h e mi viene = 0
e poi come procedo?? C'è una regola base da applicare per calcolare la derivabilità? Grazie mille!!!!!!!!
Ivano
L'esercizio è il seguente:
Per quali valori di a e di b la seguente funzione è continua su tutto l'asse reale? E per quali valori di a e di b è derivabile?
e^x per x >= 1
f(x)= ax per 0<=x<1
arctan(bx) per x<0
Ho ragionato così:
Il limite per x->1 di e^x è uguale ad e
il limite per x->1 di ax deve essere uguale ad e, quindi a=e
lim per x->0 di ax => a puo' assumere qualsiasi valore, quindi e è accettabile
lim per x->0 arctan(bx) b puo' assumere qualsiasi valore su R
quindi f(x) è continua su R quando a=e e per ogni b appartenente ai reali. E' giusto il ragionamento?
Quello che invece non so fare è la derivabilità!
Provo a fare il limite del rapporto incrementale
lim x->0+ (e^(x+h) - e^x)/h e mi viene 0/h = 0
lim x->0- ((ex+h)-ex) /h e mi viene = 0
e poi come procedo?? C'è una regola base da applicare per calcolare la derivabilità? Grazie mille!!!!!!!!
Ivano
Risposte
Prima di uttto una puntualizzazione sulla continuità che hai trovato: dovresti scrivere per correttezza se è 1+ o 1-, se è 0+ o 0-, per il resto è corretto.
Per quanto riguarda la derivabilità basta fare la derivata e studiare il limite
Le tre derivate sono
e^x
a
b/(1+b²)
quindi
Il limite per x->1+ di e^x è uguale ad e
il limite per x->1- di a deve essere uguale ad e, quindi a=e
come per la contunuità
lim per x->0+ di a = a e quindi =e
lim per x->0- b/(1+b²) è ovviamente b/(1+b²)
devo imporre e=b/(1+b²)
eb²-b+e=0
non ha soluzioni se non nel campo complesso.
Per quanto riguarda la derivabilità basta fare la derivata e studiare il limite
Le tre derivate sono
e^x
a
b/(1+b²)
quindi
Il limite per x->1+ di e^x è uguale ad e
il limite per x->1- di a deve essere uguale ad e, quindi a=e
come per la contunuità
lim per x->0+ di a = a e quindi =e
lim per x->0- b/(1+b²) è ovviamente b/(1+b²)
devo imporre e=b/(1+b²)
eb²-b+e=0
non ha soluzioni se non nel campo complesso.
Ti ringrazio moltissimo!!!
L'unica cosa che non ho capito è la derivata prima di arctan(bx).
la derivata prima di arctan(x) è 1/1+x^2
come fa la derivata prima di arctan(bx) ad essere b/1+b^2 ?
La x che fine ha fatto? Forse perchè devo considerare il tutto come se fosse una funzione composta? ma in questo caso mi spiegherei solo il denominatore e non il numeratore... spero di essere stato chiaro nella domanda!!
Grazie mille =)
Ivano
L'unica cosa che non ho capito è la derivata prima di arctan(bx).
la derivata prima di arctan(x) è 1/1+x^2
come fa la derivata prima di arctan(bx) ad essere b/1+b^2 ?
La x che fine ha fatto? Forse perchè devo considerare il tutto come se fosse una funzione composta? ma in questo caso mi spiegherei solo il denominatore e non il numeratore... spero di essere stato chiaro nella domanda!!
Grazie mille =)
Ivano
Scusa sono stupido io. Mi capita spesso di fare errori stupidi.
hai ragione, la derivata di arctan(bx) = b/(1+bx²)
lim per x->0- b/(1+bx²) = b
uguagliando le due derivate risulta b=e
soluzione:
la funzione è continua e derivabile per a = b = e
hai ragione, la derivata di arctan(bx) = b/(1+bx²)
lim per x->0- b/(1+bx²) = b
uguagliando le due derivate risulta b=e
soluzione:
la funzione è continua e derivabile per a = b = e
Spesso i miei errori sono ancora più stupidi... mi basta sbagliare un segno e ho compromesso tutto l'esercizio! grazie tantissime =)
Ivano
Ivano
L'errore più stupido che ho fatto è stato
x - 14 y ...
scritto a mano e velocemente lo puoi vedere come
x -|4 y ...
che la riga sotto è diventato
x + 4y ...
Risultato: esercizio nullo, 0 punti. e ti assicuro che non si semplificava nulla, ho fatto una fatica immonda!
x - 14 y ...
scritto a mano e velocemente lo puoi vedere come
x -|4 y ...
che la riga sotto è diventato
x + 4y ...
Risultato: esercizio nullo, 0 punti. e ti assicuro che non si semplificava nulla, ho fatto una fatica immonda!
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