Derivabilità
se $ f:[a,b]rarr R $ è derivabile due volte in $ a $ di minimo assoluto per $ f $ in $ [a,b] $ allora $ f''(a)>0 $.
la seguente affermazione direi che è vera perché se $a$ è un punto di massimo assoluto e derivabile due volte, questo vuole dire che abbiamo un punto stazionario in $a$ cioè un punto di flesso a tangente orizzontale visto che $a$ è minimo questo implica che $ f''(a)>0 $.
la seguente affermazione direi che è vera perché se $a$ è un punto di massimo assoluto e derivabile due volte, questo vuole dire che abbiamo un punto stazionario in $a$ cioè un punto di flesso a tangente orizzontale visto che $a$ è minimo questo implica che $ f''(a)>0 $.
Risposte
Ciao.
Secondo me, una funzione del tipo $f:[a,b] rightarrow RR$ non può essere derivabile in un estremo dell'intervallo di definizione.
La derivata è, infatti, definita mediante un limite bilatero, quindi si presuppone che la derivabilità di una funzione in un punto $c$ possa sussistere se esiste almeno un intorno del punto $c$ su cui la funzione sia definibile.
Ovviamente questa è una condizione necessaria, ma non sufficiente, per l'esistenza di $f'(c)$.
Al più si dovrebbe poter calcolare, rispetto al punto $a$, il limite di $f'(x)$, ma solamente per $x$ tendente ad $a^+$ (limite destro), ma non dovrebbe essere possibile definire (almeno bilateralmente) $f'(a)$.
Un'altra cosa che evidenzierei è quella secondo cui, in una funzione del tipo sopra indicato, non sempre i punti di minimo (o di massimo) assoluti sono punti stazionari.
Esempio: $f:[0,1] rightarrow RR$ con $f(x)=x$
Questa funzione ammette un minimo assoluto per $x=0$ ed un massimo assoluto per $x=1$, ma i due punti in questione, anche senza contare ciò che era stato precisato all'inizio della presente, non possono certamente essere punti stazionari, cioè punti in cui si abbia l'annullamento della derivata prima.
Saluti.
Secondo me, una funzione del tipo $f:[a,b] rightarrow RR$ non può essere derivabile in un estremo dell'intervallo di definizione.
La derivata è, infatti, definita mediante un limite bilatero, quindi si presuppone che la derivabilità di una funzione in un punto $c$ possa sussistere se esiste almeno un intorno del punto $c$ su cui la funzione sia definibile.
Ovviamente questa è una condizione necessaria, ma non sufficiente, per l'esistenza di $f'(c)$.
Al più si dovrebbe poter calcolare, rispetto al punto $a$, il limite di $f'(x)$, ma solamente per $x$ tendente ad $a^+$ (limite destro), ma non dovrebbe essere possibile definire (almeno bilateralmente) $f'(a)$.
Un'altra cosa che evidenzierei è quella secondo cui, in una funzione del tipo sopra indicato, non sempre i punti di minimo (o di massimo) assoluti sono punti stazionari.
Esempio: $f:[0,1] rightarrow RR$ con $f(x)=x$
Questa funzione ammette un minimo assoluto per $x=0$ ed un massimo assoluto per $x=1$, ma i due punti in questione, anche senza contare ciò che era stato precisato all'inizio della presente, non possono certamente essere punti stazionari, cioè punti in cui si abbia l'annullamento della derivata prima.
Saluti.
"fabiolmessi":
se $ f:[a,b]rarr R $ è derivabile due volte in $ a $ di minimo assoluto per $ f $ in $ [a,b] $ allora $ f''(a)>0 $.
la seguente affermazione direi che è vera [...]
E dove sta l'affermazione seguente, ossia che segue? Forse volevi dire "la precedente" affermazione? (Non sto facendo il simpatico, io davvero non capisco, se scrivi così. Su questo forum vedo molto spesso usare il termine "seguente" a casaccio, ecco perché chiedo).
@alessandro: No, non si calcola il limite di $f'(x)$. Invece si calcola la cosiddetta "derivata unilaterale":
\[
f'_+(a)=\lim_{h\to 0,\ h>0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h},\]
(e l'ovvia variante \(f'_{-}(b)\)). Sotto opportune ipotesi su $f'$, queste derivate coincidono con i limiti $\lim_{x\to a^+}f'(x)$ e $\lim_{x\to b^-}f'(x)$. Siamo sempre allo stesso discorso dell'altro topic, quello con l'intervento di Fioravante. Finché la derivata è una funzione continua, tutte queste sottigliezze spariscono, ma può capitare una funzione la cui derivata presenti discontinuità.
@fabiolmessi: Riguardo l'esercizio. Quando il punto di estremo (massimo o minimo) è in un estremo dell'intervallo di definizione, le derivate non ti aiutano più quasi per niente. (In questo credo di interpretare l'intervento di alessandro). Non è detto infatti che la derivata prima si annulli, come mostra l'esempio semplice che fa alessandro. Non è detto neanche che la derivata seconda abbia un segno prestabilito. Tu dici che essa deve essere positiva: no, non è vero, considera
\[
f(x)=\sqrt{x}, \qquad x\in[1, 2].\]
Fai i calcoli (falli davvero per favore) e vedrai che, pur essendo $x=1$ un punto di minimo per questa funzione, si ha che $f''(1)<0$.
@dissonance
Hai pienamente ragione, sono stato impreciso ancora una volta su quel punto.
Grazie per tutte le tue precisazioni, le accetterò sempre di buon grado.
Come dicono i romani, quanno ce vo' ce vo'.
Grazie ancora.
Saluti.
Hai pienamente ragione, sono stato impreciso ancora una volta su quel punto.
Grazie per tutte le tue precisazioni, le accetterò sempre di buon grado.
Come dicono i romani, quanno ce vo' ce vo'.
Grazie ancora.
Saluti.
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