Derivabilità

[simo9115]

Data la funzione:

$f(x)={(0,if x=0),(x^2sin(1/x),if x!=0):}$

verificare che esiste f'(0)...
allora io faccio la derivata della mia funzione e ovviamente quando vado a sostituire lo 0 mi ritrovo con cos di infinito...

[kobeilprofeta]

Tu fai la derivata della funzione definita per $x=0$ e sostituisci il valore $x=0$; poi fai la derivata della f definita per $x!=0$ e fanne i lim per $x to 0^-$ e per $x to 0^+$. Se tutti e tre i valori coincidono, la f è derivabile.

[Plepp]

Sera

"kobeilprofeta":Tu fai la derivata della funzione definita per $x=0$ e sostituisci il valore $x=0$; poi fai la derivata della f definita per $x!=0$ e fanne i lim per $x to 0^-$ e per $x to 0^+$. Se tutti e tre i valori coincidono, la f è derivabile.

Mannò kobe! Hai beccato giusto una funzione dove 'sta storia non vale (tra l'altro: come fai a derivare la "funzione definita per $x=0$" e poi valutarne la derivata in $x=0$ senza ancora sapere se sia possibile o meno farlo?)

La $f$ assegnata è derivabile ovunque, in particolare per $x=0$; infatti, realizzando la definizione:
\[\lim_{h\to 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{h^2\sin(1/h)-0}{h}=\lim_{h\to 0}h\sin(1/h)=0\]
Tuttavia i due limiti
\[\lim_{x\to 0^-}f'(x)\qquad \lim_{x\to 0^+}f'(x)\]
non esistono.