Derivabilità
Ciao a tutti. come si fa a determinare la derivabilità di una funzione?
o meglio se ad esempio ho
f(x)= e^(cosx+ x^4)
come ne determino la derivabilità non essendo specificato il punto ?
o meglio se ad esempio ho
f(x)= e^(cosx+ x^4)
come ne determino la derivabilità non essendo specificato il punto ?
Risposte
Basta vedere che esiste finito il limite del rapporto incrementale $ AAx inD_f $ ...
Cioè comunque scelgo $ x inD_f $ $ lim_(h->0)(e^(cos(x+h)+(x+h)^4)-e^(cosx+x^4))/(h) $ esiste finito.
Cioè comunque scelgo $ x inD_f $ $ lim_(h->0)(e^(cos(x+h)+(x+h)^4)-e^(cosx+x^4))/(h) $ esiste finito.
Oppure calcoli la derivata e ne studi il dominio, impiegando se necessario il teorema del limite della derivata. In questo caso:
$D[f(x)]=(4x^3-sin(x))e^(cos(x)+ x^4)$
che ha dominio $RR$.
$D[f(x)]=(4x^3-sin(x))e^(cos(x)+ x^4)$
che ha dominio $RR$.
"Pierlu11":
Basta vedere che esiste finito il limite del rapporto incrementale $ AAx inD_f $ ...
Cioè comunque scelgo $ x inD_f $ $ lim_(h->0)(e^(cos(x+h)+(x+h)^4)-e^(cosx+x^4))/(h) $ esiste finito.
cioè? come si continua???
$ lim_(h→0)(e^(cos(x+h)+(x+h)^4)−e^(cosx+x^4))/h=lim_(h→0)e^(cosx+x^4)(e^(cos(x+h)-cosx+(x+h)^4-x^4)−1)/h $ ;
$ (e^(cos(x+h)-cosx+(x+h)^4-x^4)−1)/h~ (cos(x+h)-cosx+(x+h)^4-x^4)/h= $
$ =(cosxcosh-sinxsinh-cosx+x^4+h^4+4h^3x+10x^2h^2+4x^3h-x^4)/h= $
$ =(cosxcosh-cosx)/h-(sinxsinh)/h+(h^4+4h^3x+10x^2h^2+4x^3h)/h= $
$ =cosx(cosh-1)/h-(sinxsinh)/h+(h^4+4h^3x+10x^2h^2+4x^3h)/h $ ...
Tornando al limite si deduce che è finito per qualunque valore di $ x inD_f$ .
$ (e^(cos(x+h)-cosx+(x+h)^4-x^4)−1)/h~ (cos(x+h)-cosx+(x+h)^4-x^4)/h= $
$ =(cosxcosh-sinxsinh-cosx+x^4+h^4+4h^3x+10x^2h^2+4x^3h-x^4)/h= $
$ =(cosxcosh-cosx)/h-(sinxsinh)/h+(h^4+4h^3x+10x^2h^2+4x^3h)/h= $
$ =cosx(cosh-1)/h-(sinxsinh)/h+(h^4+4h^3x+10x^2h^2+4x^3h)/h $ ...
Tornando al limite si deduce che è finito per qualunque valore di $ x inD_f$ .
e il lim viene 4x^3-senx. giusto?? e la dimostrazione termina qui??
Il limite viene $ e^(cosx+x^4)(4x^3−sinx) $ ... e concludi dicendo che manda ogni $ x $ in un valore limitato.
Buon di
io ragionerei semplicemente così:
dato che è
Cos x è derivabile in R;
X^4 è derivabile in R;
exp (x) è derivabile in R;
somma di funzioni derivabile è derivabile;
composizione di funzioni derivabili è derivabile;
da ciò
la Sua funzione è derivabile in tutto il suo dominio;
Nella generalità io guaderei il limite del rapporto incrementale nei punti di accumulazione dell' insieme di definizione della funzione dove le componenti non sono derivabili (se la funzione è una espressione elementare) ;
infatti in quei punti non è applicabile la regola di derivazione delle funzioni composte....
Mi auguro di essere stato di aiuto!
Cordiali saluti
io ragionerei semplicemente così:
dato che è
Cos x è derivabile in R;
X^4 è derivabile in R;
exp (x) è derivabile in R;
somma di funzioni derivabile è derivabile;
composizione di funzioni derivabili è derivabile;
da ciò
la Sua funzione è derivabile in tutto il suo dominio;
Nella generalità io guaderei il limite del rapporto incrementale nei punti di accumulazione dell' insieme di definizione della funzione dove le componenti non sono derivabili (se la funzione è una espressione elementare) ;
infatti in quei punti non è applicabile la regola di derivazione delle funzioni composte....
Mi auguro di essere stato di aiuto!
Cordiali saluti
"Mino_01":
Buon di
io ragionerei semplicemente così:
dato che è
Cos x è derivabile in R;
X^4 è derivabile in R;
exp (x) è derivabile in R;
somma di funzioni derivabile è derivabile;
composizione di funzioni derivabili è derivabile;
da ciò
la Sua funzione è derivabile in tutto il suo dominio;
Nella generalità io guaderei il limite del rapporto incrementale nei punti di accumulazione dell' insieme di definizione della funzione dove le componenti non sono derivabili (se la funzione è una espressione elementare) ;
infatti in quei punti non è applicabile la regola di derivazione delle funzioni composte....
Mi auguro di essere stato di aiuto!
Cordiali saluti
semplice, chiaro, preciso. grazie mille!!!