Derivabilità

[miry93-thebest]

Ciao a tutti. come si fa a determinare la derivabilità di una funzione?
o meglio se ad esempio ho
f(x)= e^(cosx+ x^4)
come ne determino la derivabilità non essendo specificato il punto ?

[Pierlu11]

Basta vedere che esiste finito il limite del rapporto incrementale $ AAx inD_f $ ...
Cioè comunque scelgo $ x inD_f $ $ lim_(h->0)(e^(cos(x+h)+(x+h)^4)-e^(cosx+x^4))/(h) $ esiste finito.

[Brancaleone1]

Oppure calcoli la derivata e ne studi il dominio, impiegando se necessario il teorema del limite della derivata. In questo caso:

$D[f(x)]=(4x^3-sin(x))e^(cos(x)+ x^4)$

che ha dominio $RR$.

[miry93-thebest]

"Pierlu11":Basta vedere che esiste finito il limite del rapporto incrementale $ AAx inD_f $ ...
Cioè comunque scelgo $ x inD_f $ $ lim_(h->0)(e^(cos(x+h)+(x+h)^4)-e^(cosx+x^4))/(h) $ esiste finito.

cioè? come si continua???

[Pierlu11]

$ lim_(h→0)(e^(cos(x+h)+(x+h)^4)−e^(cosx+x^4))/h=lim_(h→0)e^(cosx+x^4)(e^(cos(x+h)-cosx+(x+h)^4-x^4)−1)/h $ ;
$ (e^(cos(x+h)-cosx+(x+h)^4-x^4)−1)/h~ (cos(x+h)-cosx+(x+h)^4-x^4)/h= $
$ =(cosxcosh-sinxsinh-cosx+x^4+h^4+4h^3x+10x^2h^2+4x^3h-x^4)/h= $
$ =(cosxcosh-cosx)/h-(sinxsinh)/h+(h^4+4h^3x+10x^2h^2+4x^3h)/h= $
$ =cosx(cosh-1)/h-(sinxsinh)/h+(h^4+4h^3x+10x^2h^2+4x^3h)/h $ ...
Tornando al limite si deduce che è finito per qualunque valore di $ x inD_f$ .

[miry93-thebest]

e il lim viene 4x^3-senx. giusto?? e la dimostrazione termina qui??

[Pierlu11]

Il limite viene $ e^(cosx+x^4)(4x^3−sinx) $ ... e concludi dicendo che manda ogni $ x $ in un valore limitato.

[Mino_01]

Buon di
io ragionerei semplicemente così:

dato che è

Cos x è derivabile in R;
X^4 è derivabile in R;
exp (x) è derivabile in R;

somma di funzioni derivabile è derivabile;
composizione di funzioni derivabili è derivabile;

da ciò
la Sua funzione è derivabile in tutto il suo dominio;


Nella generalità io guaderei il limite del rapporto incrementale nei punti di accumulazione dell' insieme di definizione della funzione dove le componenti non sono derivabili (se la funzione è una espressione elementare) ;
infatti in quei punti non è applicabile la regola di derivazione delle funzioni composte....

Mi auguro di essere stato di aiuto!
Cordiali saluti

[miry93-thebest]

"Mino_01":Buon di
io ragionerei semplicemente così:

dato che è

Cos x è derivabile in R;
X^4 è derivabile in R;
exp (x) è derivabile in R;

somma di funzioni derivabile è derivabile;
composizione di funzioni derivabili è derivabile;

da ciò
la Sua funzione è derivabile in tutto il suo dominio;


Nella generalità io guaderei il limite del rapporto incrementale nei punti di accumulazione dell' insieme di definizione della funzione dove le componenti non sono derivabili (se la funzione è una espressione elementare) ;
infatti in quei punti non è applicabile la regola di derivazione delle funzioni composte....

Mi auguro di essere stato di aiuto!
Cordiali saluti

semplice, chiaro, preciso. grazie mille!!!