Derivabilià funzione
Buongiorno a tutti,
potete dirmi se il ragionamento che ho fatto su questo esercizio è corretto?
l'esercizio diceva:
"Siano $f(x) in C^2(RR)$ e $g(x) = |x| f(x)$.
Se $lim_(x->0) f(x)/x= 0$, allora esiste $g''(0)$?"
ho messo vero e come giustificazione avevo pensato: grazie alle ipotesi so che in $x_0=0$ la $f(x)$ si comporta come $x$, il che vuol dire che $g(x)$ in $x_0=0$ si comporta come $|x|x$, che è derivabile due volte infatti facendo il grafico si nota che in (-1,1) la funzione si comporta come $x^2$, che è derivabile 2 volte.
Grazie in anticipo
potete dirmi se il ragionamento che ho fatto su questo esercizio è corretto?
l'esercizio diceva:
"Siano $f(x) in C^2(RR)$ e $g(x) = |x| f(x)$.
Se $lim_(x->0) f(x)/x= 0$, allora esiste $g''(0)$?"
ho messo vero e come giustificazione avevo pensato: grazie alle ipotesi so che in $x_0=0$ la $f(x)$ si comporta come $x$, il che vuol dire che $g(x)$ in $x_0=0$ si comporta come $|x|x$, che è derivabile due volte infatti facendo il grafico si nota che in (-1,1) la funzione si comporta come $x^2$, che è derivabile 2 volte.
Grazie in anticipo
Risposte
L'intuizione è quella giusta, ma a parer mio sei stata poco precisa, tant'è che non mi è molto chiaro il motivo per cui hai che \(g\) sia derivabile due volte in \(0\). Devi dimostrarlo!
Sai che \(g \) è derivabile due volte in \( \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \) perché sia \(f\) che \( \left| \cdot \right| \) lo sono.
Verifichi che \(g\) è derivabile in \(0 \) e che abbiamo \(g'(0)=0\) usando la definizione di derivabilità in un punto e la condizione che \(f(x)=o(x) \). Poi puoi calcolarti la derivata prima di \(g\) che è
\[ g'(x) =\left\{\begin{matrix}
\left| x \right| f'(x) + \operatorname{sgn}(x) f(x) & \text{se} & x \neq 0\\
0& \text{altrimenti} &
\end{matrix}\right. \]
ti ricordo che se \(x \neq 0 \) si ha che \( \operatorname{sgn}(x) = \frac{\left| x \right|}{x} \)
Poi verifichi, sempre usando la definizione di derivabilità in un punto, che \(g'\) è derivabile in \(0\). Hai che
\[ \lim_{h \underset{>}{\to} 0} \frac{g'(h)-g'(0)}{h} =
f'(0) \]
mentre
\[ \lim_{h \underset{<}{\to} 0} \frac{g'(h)-g'(0)}{h} =
-f'(0) \]
quindi \(g \) è derivabile due volte in \(0\) se e solo se \( f'(0) = 0 \).
Ora usando nuovamente che \( f(x) = o(x) \) e il fatto che in un intorno di zero si ha \(f(x)=f(0) + f'(0)x + o(x) \), dimostri che \(f(0)= f'(0) = 0 \).
Sai che \(g \) è derivabile due volte in \( \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \) perché sia \(f\) che \( \left| \cdot \right| \) lo sono.
Verifichi che \(g\) è derivabile in \(0 \) e che abbiamo \(g'(0)=0\) usando la definizione di derivabilità in un punto e la condizione che \(f(x)=o(x) \). Poi puoi calcolarti la derivata prima di \(g\) che è
\[ g'(x) =\left\{\begin{matrix}
\left| x \right| f'(x) + \operatorname{sgn}(x) f(x) & \text{se} & x \neq 0\\
0& \text{altrimenti} &
\end{matrix}\right. \]
ti ricordo che se \(x \neq 0 \) si ha che \( \operatorname{sgn}(x) = \frac{\left| x \right|}{x} \)
Poi verifichi, sempre usando la definizione di derivabilità in un punto, che \(g'\) è derivabile in \(0\). Hai che
\[ \lim_{h \underset{>}{\to} 0} \frac{g'(h)-g'(0)}{h} =
f'(0) \]
mentre
\[ \lim_{h \underset{<}{\to} 0} \frac{g'(h)-g'(0)}{h} =
-f'(0) \]
quindi \(g \) è derivabile due volte in \(0\) se e solo se \( f'(0) = 0 \).
Ora usando nuovamente che \( f(x) = o(x) \) e il fatto che in un intorno di zero si ha \(f(x)=f(0) + f'(0)x + o(x) \), dimostri che \(f(0)= f'(0) = 0 \).
perfetto grazie mille, si ripensando alla mia giustificazione avevo confuso il fatto che lim x->0 f(x)/x=1 vuol dire che f(x) si comporta come x in x0, mentre qua abbiamo che lim x->0 f(x)/x=0
Mi dimostri che $|x|x$ è derivabile due volte in $0$?
giusto, x=0 sarebbe una cuspide e quindi x|x| non sarebbe derivabile due volte giusto?
"sofia123":
giusto, x=0 sarebbe una cuspide
Dimostralo.
"sofia123":
e quindi x|x| non sarebbe derivabile due volte giusto?
"Sarebbe"?
Qui stiamo parlando di ciò che "è" o "non è"; per il condizionale non c'è spazio...
In altri termini, quando fai un'affermazione devi provarla.
Non basta dire "si vede che...", lo devi proprio "far vedere".
la derivata prima di |x|x è
0 se x=0,
2|x| se x!=0
poiché |x| non è derivabile in x=0, non lo sarà neanche 2|x|
0 se x=0,
2|x| se x!=0
poiché |x| non è derivabile in x=0, non lo sarà neanche 2|x|
E quindi?
Cosa hai dimostrato?
Cosa hai dimostrato?
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