Derivabile 2 volte in un punto

[ansioso]

Ciao ragazzi ho un dubbio su come si effettua una verifica! un esercizio mi richiede quando una funzione è derivabile due volte in x=0

In teoria dovrei svolgere la derivata prima, ed applicare alla derivata prima, il limite del rapporto incrementale con $h->0$?
Se tale limite è finito allora la funzione è derivabile due volte... giusto?


o basta calcolare la derivata seconda?

p.s assodato che il punto x deve far parte del dominio della funzione data!

[kondor1]

"ansioso":Ciao ragazzi ho un dubbio su come si effettua una verifica! un esercizio mi richiede quando una funzione è derivabile due volte in x=0

In teoria dovrei svolgere la derivata prima, ed applicare alla derivata prima, il limite del rapporto incrementale con $h->0$?
Se tale limite è finito allora la funzione è derivabile due volte... giusto?


o basta calcolare la derivata seconda?

p.s assodato che il punto x deve far parte del dominio della funzione data!

Basta vedere anzitutto se esiste la derivata seconda e poi se esiste in [tex]$x_0=0$[/tex] vale a dire se è derivabile in quel punto;credo che in alternativa si possa fare anche il rapporto incrementale di [tex]$f'(x)$[/tex] in [tex]$0$[/tex] ma non conviene.

[dissonance]

"kondor":Basta vedere anzitutto se esiste la derivata seconda e poi se esiste in [tex]$x_0=0$[/tex] vale a dire se è derivabile in quel punto;

???

Che cosa vuoi dire, non si capisce.

credo che in alternativa si possa fare anche il rapporto incrementale di [tex]$f'(x)$[/tex] in [tex]$0$[/tex] ma non conviene.

Invece questo è il modo sicuro per procedere ed è quello che consiglio.

[kondor1]

"dissonance":[quote="kondor"]Basta vedere anzitutto se esiste la derivata seconda e poi se esiste in [tex]$x_0=0$[/tex] vale a dire se è derivabile in quel punto;

???

Che cosa vuoi dire, non si capisce.[/quote]

in effetti...intendevo dire se [tex]f''(x)[/tex] è continua in [tex]x_0=0[/tex];se ad esempio ottengo che [tex]f''(x)[/tex] è continua in un intervallo (a,b) e il mio punto cade all'interno di quest'ultimo, ciò non basta per affermare l'esistenza della derivata seconda in quel punto?(evitando così il limite del rapporto incrementale..)

[dissonance]

Si, questo è un teorema (di Darboux): se una funzione è continua in un punto e la derivata è prolungabile per continuità nello stesso allora la funzione è derivabile in quel punto. Ma attenzione: per applicare questo teorema occorre sapere a priori che la funzione data è continua nel punto!!! Quindi, per la derivata seconda, occorre prima sapere che la funzione ha la derivata prima continua e poi si può applicare questo discorso.

Nel dubbio, in questi casi, è sempre meglio calcolare il rapporto incrementale.

[ansioso]

grazie ad entrambi per il chiarimento... preferisco ,come dice dissoncance, mettermi al sicuro e calcolare il rapporto incrementale della derivata prima

[kondor1]

"dissonance":Si, questo è un teorema (di Darboux): se una funzione è continua in un punto e la derivata è prolungabile per continuità nello stesso allora la funzione è derivabile in quel punto. Ma attenzione: per applicare questo teorema occorre sapere a priori che la funzione data è continua nel punto!!! Quindi, per la derivata seconda, occorre prima sapere che la funzione ha la derivata prima continua e poi si può applicare questo discorso.

Nel dubbio, in questi casi, è sempre meglio calcolare il rapporto incrementale.

chiaro!quindi ci assicuriamo la continuità in [tex]$x_0=0$[/tex] di [tex]$f'(x)$[/tex] come condizione necessaria per il teorema.Ma se dovesse non essere continua già sappiamo che non è derivabile in quel punto,giusto?

[dissonance]

Certo.