Densità in uno spazio di funzioni continue
Siano $E^1 = {f : RR -> CC | \text{ continua e tale che } \int_RR |f| < +infty }$
$E^2 = {f : RR -> CC | \text{ continua e tale che } \int_RR |f|^2 < +infty }$
$E^infty = {f : RR -> CC | \text{ continua e limitata} }$.
E' chiaro che per $i=1,2,infty$ $E^i$ è uno spazio vettoriale complesso normato con la norma $|| \ ||_i$.
1) per quali $i=1,2,infty$ l'insieme $C_C^infty = {f : RR -> CC \text{ di classe } C^infty \text{ e a supporto compatto}}$ è denso in $E^i$?
2)C'è un modo semplice per dimostrare l'iniettività della trasformata di Fourier $E^1 -> E^infty$?
$E^2 = {f : RR -> CC | \text{ continua e tale che } \int_RR |f|^2 < +infty }$
$E^infty = {f : RR -> CC | \text{ continua e limitata} }$.
E' chiaro che per $i=1,2,infty$ $E^i$ è uno spazio vettoriale complesso normato con la norma $|| \ ||_i$.
1) per quali $i=1,2,infty$ l'insieme $C_C^infty = {f : RR -> CC \text{ di classe } C^infty \text{ e a supporto compatto}}$ è denso in $E^i$?
2)C'è un modo semplice per dimostrare l'iniettività della trasformata di Fourier $E^1 -> E^infty$?
Risposte
I tuoi spazi $E^p$ non sono altro che sottospazi di $L^p$ e sappiamo che le funzioni $C^\infty$ a supporto compatto sono dense in $L^p$ e quindi sono dense anche in $E^p$
Mi potresti dire come si può dimostrare che le funzioni $C^infty$ a supporto compatto sono dense in $L^p$ o suggerirmi una dispensa dove trovare questa dimostrazione?
Anticipo una possibile domanda di misanino, così risparmi un po' di tempo: conosci il prodotto di convoluzione e le successioni di mollificatori?
"dissonance":
Anticipo una possibile domanda di misanino, così risparmi un po' di tempo: conosci il prodotto di convoluzione e le successioni di mollificatori?
Altrimenti è un lavoro lungo e credo che ti convenga potenziare le tue basi di analisi.
Penso che Dissonance possa consigliarti un libro meglio di me.
Mi sembra che lui abbia una grande conoscenza in questo campo
"dissonance":
Anticipo una possibile domanda di misanino, così risparmi un po' di tempo: conosci il prodotto di convoluzione e le successioni di mollificatori?
Le successioni di mollificatori no, ma cos'è un mollificatore più o meno sì: dovrebbe essere una funzione del tipo $phi : R -> [0,lambda]$ di classe $C^infty$ tale che $phi$ vale $0$ su $(-infty,a] cup [d,+infty)$, vale $lambda$ su $[c,d]$, è crescente in $[a,b]$ e decrescente in $[c,d]$.($a
Non credo che la tua definizione di mollificatore sia quella che ho in mente io......
Probabilmente è meglio che la riguardi
Probabilmente è meglio che la riguardi
Visto che ci sono mi intrometto: una dimostrazione di questo risultato si può dare senza ricorrere alla convoluzione, e questo approccio si trova ad esempio sul libro di Brezis (non ricordo se nel capitolo sugli spazi L^p o nell'appendice, se serve lo tiro giù dallo scaffale). @NightKnight: Ti ricordi le bump functions di cui parlammo credo un annetto fa? Qui fanno la parte del leone. L'idea è semplice. Fissa $1<=p<\infty$ e prendi un rettangolo di $RR^N$ (o un intervallo compatto in $RR$). Una funzione costante su questo rettangolo è in $L^p(RR^N)$ e applicando la teoria delle bump functions la si può approssimare in norma $p$ con una successione $C_C^\infty(RR^N)$. Se questo si può fare con le funzioni costanti sui rettangoli, si può fare con le funzioni costanti a tratti sui plurirettangoli; e il sottospazio delle funzioni costanti a tratti sui plurirettangoli è denso in $L^p(RR^N)$. Segue la tesi.
Una volta mostrato che $C_C^infty(RR^N)$ è denso in $L^p(RR^N)$ si può estendere il risultato a $C_C^\infty(\Omega)$ con $\Omega$ aperto di $RR^N$. Ma qui Brezis usa la convoluzione.
Infine, un approccio totalmente diverso c'è sulle dispense di Gilardi: qui si usa il teorema di Hahn-Banach.
Una "grande conoscenza" è un'altra cosa.
Una volta mostrato che $C_C^infty(RR^N)$ è denso in $L^p(RR^N)$ si può estendere il risultato a $C_C^\infty(\Omega)$ con $\Omega$ aperto di $RR^N$. Ma qui Brezis usa la convoluzione.
Infine, un approccio totalmente diverso c'è sulle dispense di Gilardi: qui si usa il teorema di Hahn-Banach.
"misanino":Eh, magari. In questo post ho citato quasi tutto ciò che ho letto su questo argomento. Roba che si conta sulle dita delle mani insomma...
Mi sembra che lui abbia una grande conoscenza in questo campo
Una "grande conoscenza" è un'altra cosa.
Grazie.
Comunque, leggendo sugli appunti di un amico ho trovato l'inizio della soluzione:
siano $E^1,E^2,E^infty$ come nel primo post, cioè gli spazi delle funzioni continue da $RR$ a $CC$ sommabili, a quadrato sommabile, limitate.
Def: Per $f in E^1,g in E^infty$ definiamo la convoluzione $(f ** g)(x) = int_RR f(t)g(x-t)dt$. (Non so fare il simbolo dell'asterisco)
Prop: Siano $f in E^1$, $k geq 0$, $g in C^k$ tale che per ogni $h=0,...,k \ || g^((h)) ||_infty < +infty$.
Allora $f star g in E^1 cap C^k$ e per ogni $h=0,...,k$ vale $(f star g)^((h)) = f star g^((h))$.
Dim: si fanno a parte i casi $k=0,1$ usando la convergenza dominata di Lebesgue; e poi si procede per induzione.
Corollario: Se $f in E^1, g in C^infty_c$ allora $f star g in E^1 cap C^infty$.
Si consideri $\rho : RR -> RR$ con queste proprietà (si dice nucleo di convoluzione):
- $rho in C^infty_c$ e $\text{supp} (rho) subseteq [-1,1]$
- $rho geq 0$
- $int_RR rho = 1$.
Per ogni $n geq 1$ si consideri $rho_n in C^infty_c$ così definita $rho_n (x) = n rho(nx)$.
Prop. $C^infty_c$ è denso in $E^1$.
Sia $f in E^1$ e siano per ogni $n$ $f_n = f star rho_n$. A questo punto chiedo a voi come concludere, perché su questi appunti la faccenda si ingarbuglia notevolmente.
Comunque, leggendo sugli appunti di un amico ho trovato l'inizio della soluzione:
siano $E^1,E^2,E^infty$ come nel primo post, cioè gli spazi delle funzioni continue da $RR$ a $CC$ sommabili, a quadrato sommabile, limitate.
Def: Per $f in E^1,g in E^infty$ definiamo la convoluzione $(f ** g)(x) = int_RR f(t)g(x-t)dt$. (Non so fare il simbolo dell'asterisco)
Prop: Siano $f in E^1$, $k geq 0$, $g in C^k$ tale che per ogni $h=0,...,k \ || g^((h)) ||_infty < +infty$.
Allora $f star g in E^1 cap C^k$ e per ogni $h=0,...,k$ vale $(f star g)^((h)) = f star g^((h))$.
Dim: si fanno a parte i casi $k=0,1$ usando la convergenza dominata di Lebesgue; e poi si procede per induzione.
Corollario: Se $f in E^1, g in C^infty_c$ allora $f star g in E^1 cap C^infty$.
Si consideri $\rho : RR -> RR$ con queste proprietà (si dice nucleo di convoluzione):
- $rho in C^infty_c$ e $\text{supp} (rho) subseteq [-1,1]$
- $rho geq 0$
- $int_RR rho = 1$.
Per ogni $n geq 1$ si consideri $rho_n in C^infty_c$ così definita $rho_n (x) = n rho(nx)$.
Prop. $C^infty_c$ è denso in $E^1$.
Sia $f in E^1$ e siano per ogni $n$ $f_n = f star rho_n$. A questo punto chiedo a voi come concludere, perché su questi appunti la faccenda si ingarbuglia notevolmente.
Quella successione $(rho_n)$ è una successione di mollificatori nel senso che intendevamo prima io e misanino. Hai mostrato che $rho_n \star f $ è una successione di funzioni $C^\infty$: ora devi mostrare che $rho_n \star f \to f$ nel senso di $E^1$. Questo ti mostrerà che $C^infty$ è denso in $E^1$. Successivamente ci sarà da fare entrare nel quadro anche il supporto compatto. Prova un po', se hai difficoltà ne riparliamo.
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