Densità di Q

[Eridos]

Ciao,
se è vero che l'insieme Q è denso rispetto a se stesso e a R, allora quali numeri posso trovare tra 0,9 periodico
(non ho trovato come scriverlo con MathMl!) e 1?

[wedge]

"Eridos":Ciao,
se è vero che l'insieme Q è denso rispetto a se stesso e a R, allora quali numeri posso trovare tra 0,9 periodico
(non ho trovato come scriverlo con MathMl!) e 1?

0.9 periodico è uguale a 1. l'algoritmo per scrivere i numeri razionali a partire dalle frazioni non può infatti mai produrre un 9 periodico.

una prova
1/3 = 0.3 periodico
2/3 = 0.6 periodico

sommando abbiamo 1=0.9 periodico

[Eridos]

Vuoi dire che coincidono per una convenzione, o c'è un motivo più "matematico"? In effetti ora che me lo dici avrei potuto capirlo usando la formula per risalire dal periodico alla frazione (che in questo caso è proprio 1)

[Eridos]

Grazie a entrambi, direi che questo dissipa ogni ragionevole dubbio

[Chevtchenko]

"Eridos":Vuoi dire che coincidono per una convenzione, o c'è un motivo più "matematico"? In effetti ora che me lo dici avrei potuto capirlo usando la formula per risalire dal periodico alla frazione (che in questo caso è proprio 1)

Oppure potevi ragionare cosi': $0,999... = \sum_{n = 1}^{oo} 9 \cdot 10^{-n} = 9 \sum_{n = 1}^{oo} 1/10^n = 9 \cdot 1/9 = 1$.

[zorn1]

1 è proprio la somma della serie geometrica di ragione $9/10$

[Eridos]

Ringrazio anche zorn e Sandokan.
Mi ricorderò di provare quando affronterò le serie geometriche, al momento non mi è del tutto chiaro

[fu^2]

puoi anche vedere in maniera brutale così

chiamo x=0,9999...

quindi 10x=9,99999...

10x-x=9,99999...-0,99999...

quindi 9x=9

x=1

quindi associ a 0,9999.. il valore 1.

[Eridos]

anche se la forma da soddisfazione la brutalità è stata senza dubbio efficace

[Principe2]

"ubermensch":per assurdo siano diversi, allora esiste un numero reale fra essi compreso, ma ogni numero reale maggiore di $0,\bar{9}$ è anche $>1$: assurdo.

[_Tipper]

"ubermensch":per assurdo siano diversi, allora esiste un numero reale fra essi compreso, ma ogni numero reale maggiore di $0,\bar{9}$ è anche $>1$: assurdo.

Non capisco una cosa... se per assurdo si assumono diversi, non si potrebbe assumere (ovviamente sempre per assurdo) $\frac{1 + 0.\bar{9}}{2}$ come elemento maggiore di $0.\bar{9}$ e minore di $1$? Cioè, per dire che un numero maggiore di $0.\bar{9}$ è anche maggiore di $1$, non andrebbe dimostrato prima che sono proprio uguali?

[Principe2]

un numero $>0,\bar{9}$ deve avere almeno una cifra decimale $>9$ e questa ti cambia tutte le cifre decimali a cascata fino ad avere un numero $>1$

[_Tipper]

Ah già, in effetti non era poi così difficile capirlo...