Densità delle funzioni a scalino in $L^1$

[Paolo902]

Dubbio amletico di questa sera.

Sono stato abituato a chiamare funzione semplice una funzione il cui range è costituito da un numero finito di punti e funzione a scalino (o a scala) una particolare funzione semplice il cui "supporto" (uso un po' improprio del termine) è un'unione finita di intervalli. Per essere formali, una funzione a scala per me è una funzione del tipo
\[
x \mapsto \sum_{j=1}^{N} \alpha_j \chi_{I_j}(x)
\]
dove $I_j$ è un'unione finita di intervalli (per ogni $j$). Insomma, per capirci, queste funzioni a scala sono proprio le vecchie funzioni con cui si costruisce l'integrale di Riemann.

Il dubbio che mi è venuto (leggendo un bel libro di Stein) è questo: le funzioni semplici sono certamente dense in $L^1(\RR)$. Che dire delle funzioni a scalino? Sono anch'esse dense in $L^1$? A me, sinceramente, suona un po' strano... tuttavia, non è la prima volta che mi trovo a riflettere su questa cosa quindi ho deciso di fare chiarezza una volta per sempre.

Posso chiedervi una mano, per piacere? Ricordo di aver studiato che - almeno su insiemi di misura finita (mi pare) - ogni funzioni misurabile si approssima bene in misura con una funzione a scala (è uno di quei risultati "à la Lusin", robe tipo quasi continuità etc). Non vedo però come usare questa informazione che mi è rimasta dal corso di Teoria della Misura che [size=50]non[/size] ho seguito...

Grazie in anticipo.

[dissonance]

Nooo, la stai facendo troppo difficile. Ti basta dimostrare che ogni funzione continua a supporto compatto si può approssimare in norma $L^1$ con una successione di funzioni a scalino, il che consegue dalla continuità uniforme. Dopodiché concludi ricordandoti che a loro volta le funzioni continue a supporto compatto sono dense in $L^1$.

[dissonance]

Comunque se proprio vuoi avere un approccio astratto di teoria della misura, puoi usare il metodo "approximation by really simple functions", che trovi alla fine del primo capitolo del libro di Lieb e Loss. Grosso modo la sostanza è che, data una sottofamiglia $\mathcal{S}$ di parti misurabili di uno spazio di misura $\Omega$, la famiglia delle funzioni caratteristiche è densa in $L^1$ ogniqualvolta $\mathcal{S}$ è "abbastanza grande" in qualche senso. Per esempio, la cosa funziona se $\mathcal{S}$ è una algebra di insiemi che genera l'intera $\sigma$-algebra dei misurabili di $\Omega$, ma si possono dare altre condizioni sufficienti. Di sicuro la famiglia dei rettangoli in $\mathbb{R}^n$ (e quindi anche la famiglia degli intervalli finiti di $\mathbb{R}$) è abbastanza grande.

Comunque consulta il libro se hai davvero bisogno di maggiori informazioni.

[Paolo902]

Ciao caro dissonance, è un piacere leggerti. Ti ringrazio per la tua risposta: sei sempre gentilissimo e utilissimo!