Densità dei razionali nei reali

[raissa95]

Salve ragazzi, non ho capito la dimostrazione dei razionali nei reali.. Ho cercato su internet ma il nostro prof la fa in maniera diversa e la vuole così! Ve la faccio vedere:

Per ogni coppia di numeri reali $a$, $b$, con $a Prendiamo prima $a>0$. Allora per $n$ maggiore del più grande fra i numeri $1/a$ e $1/(b-a)$ risulta $0<1/n (Ecco, cosa vuol dire n maggiore del più grande fra i numeri? Maggiore di uno e minore dell'altro? E di quali? Cioè non ho proprio capito cosa intende qui e cosa ha fatto per riportarsi all'altra formula )
E per la proprietà archimedea esiste $m$ tale che $m/n>a$ (Questa l'ho capita)
Se si sceglie $m$ in modo che $(m-1)/n≤a$, essendo $1/n Se $a≤0$ e $b>0$ si trova come prima $r$ tra $b/2$ e $b$, se $a<0$ e $b=0$ si trova $r$ tra $a$ e $a/2$
Allora era inutile che ad ogni rigo scrivessi "Non ho capito"... Purtroppo davvero non ci ho capito nulla!
Sareste così gentili da scrivermela bene passaggio per passaggio spiegandoli basandovi sulla dimostrazione del mio prof? cioè senza propormene altre... Vi sarei riconoscente a vita! Fate qui un lavoro straordinario per tante persone, siete eccezionali! Vi prego, grazie in anticipo

[axpgn]

Affermare che $n$ è maggiore del più grande dei due numeri $1/a$ e $1/(b-a)$ significa che prendi il massimo dei due e poi prendi un $n$ maggiore di quest'ultimo e quindi avrai che se $max(1/a,1/(b-a))=1/a$ allora sarà $1/(b-a)<1/a
Esempi:
$a=2$ e $b=3$ allora $max(1/2,1/(3-2))=1$ e quindi basta prendere $n>1$.

$a=2$ e $b=5$ allora $max(1/2,1/(5-2))=1/2$ e quindi basta prendere $n>1/2$.

Cordialmente, Alex

[raissa95]

Molto chiaro, ho capito grazie! Il fatto è che il professore saltando quei passaggi che per me sono fondamentali ha finito col confoderci le idee... Comunque continueresti con la spiegazione a partire da se prendiamo m in modo che...? Please

[axpgn]

Prima di continuare (e quando troverò il tempo ) volevo chiederti se con $n$ e $m$ intendi degli interi ...

[raissa95]

Io ho scritto così come ho trovato nelle dispense del prof, ma credo di si... Comunque certo, appena hai tempo ci mancherebbe, è molto importante per me Grazie!

[axpgn]

Dunque ...

Come dici se $1/na$ da cui $m>na$; tra tutti i reali maggiori di $na$ prendiamo $m$ tale che sia $m=\lceiling na \rceiling$ cioè il minimo intero maggiore di $na$; allora avremo che $m>na>m-1$ da cui $m/n>a>(m-1)/n$.
[Questo l'ho scritto per dimostrare che effettivamente un tale $m$ esiste]

"... essendo $1/n Nel post precedente ...

"... si ha anche $m/n Da $(m-1)/n\ m/n
Cordialmente, Alex

EDIT: Sì, $m$ e $n$ sono interi perché così $m/n$ è razionale.

[raissa95]

Grazie infinite! E per quanto riguarda la parte successiva? Dove dice -a e -b e poi se a0?

[axpgn]

Fai gli stessi ragionamenti dopo aver opportunamente adattato $a$ e $b$ per ricondurti a due numeri positivi.
Per esempio se $a$ e $b$ sono entrambi negativi con $b\ b Se hanno segni discordi basta prendere lo zero.
Se uno dei due è zero come $0=a
Cordialmente, Alex

[raissa95]

Non so quante volte dirti grazie! Gentilissimo