Densità debole*

[DarkSepiroth]

Ciao a tutti!
Vi propongo il seguente problema:
Mostrare che $\mathcal{C}[0,1]$ è debolmente-* denso in $L^{\infty}[0,1]$.
La mia idea è di dimostrare che presa una $g \in L^{infty}$ esiste una successione $g_n$ di funzioni continue tale che presa comunque una $h \in L^1$ si abbia $\int g_n h \to \int g h$.
Ad esempio, lavorando con i mollificatori standard $\chi_n$ , posso considerare $g_n = g \star \chi_n$. Ma qualcuno puo' aiutarmi con i dettagli?

[DarkSepiroth]

Devo in pratica mostrare che $\int (g \star \chi_n) h \to \int g h$ per ogni $h \in L^1$. Il punto è che non mi riesce di applicare Fubini. Qualche idea?

[Rigel1]

Hai che \(g_n := g \star \chi_n\in L^{\infty}\), \(\|g_n\|_{\infty} \leq \|g\|_{\infty}\), e \(g_n\to g\) q.o. in \([0,1]\).
Direi che questo è sufficiente per concludere.

[DarkSepiroth]

perché $g_n \to g$ quasi ovunque in $[0,1]$?

[Rigel1]

E' una proprietà dei mollificatori: si può dimostrare che c'è convergenza puntuale in ogni punto di Lebesgue di \(g\).

[DarkSepiroth]

anche nel caso $L^{\infty}$ ? Non riesco a trovarlo dimostrato da nessuna parte...

[Rigel1]

Prendi un punto di Lebesgue \(x\) di \(g\) (è sufficiente che \(g\) sia \(L^1_{loc}(\mathbb{R}^N\)). Abbiamo che
\[
\begin{split}
|g_n(x)-g(x)| & = \left|\int_{B(x, 1/n)} \chi_n(x-y) [g(y) - g(x)]dy\right|
\\ & \leq
n^N \int_{B(x, 1/n)} \chi(n(y-x)) |g(y)-g(x)|dy
\\ & \leq
C -\hskip-4mm\int_{B(x, 1/n)} |g(y)-g(x)|dy
\end{split}
\]
e l'ultimo integrale tende a \(0\) poiché \(x\) è un punto di Lebesgue.