Densità
In una dimostrazione, mi sono imbattuto in un passaggio poco chiaro.
Si vuole provare che se uno spazio di Hilbert (sul campo reale o complesso) possiede un sistema ortonormale completo al più numerabile, allora esso è separabile.
Il mio libro dice che, detto $S$ tale sistema ortonormale completo (finito o) numerabile, l'insieme $D$ delle combinazioni lineari finite a coefficienti in $QQ$ (o $QQ + j QQ$ nel caso di spazio complesso) è ovviamente numerabile e inoltre è denso.
Non mi è chiaro perché $D$ è denso. Io so che se $S$ è un sistema ortonormale completo, allora il sottospazio generato da $S$ è denso, ma $D$ non è il sottospazio generato da $S$
Si vuole provare che se uno spazio di Hilbert (sul campo reale o complesso) possiede un sistema ortonormale completo al più numerabile, allora esso è separabile.
Il mio libro dice che, detto $S$ tale sistema ortonormale completo (finito o) numerabile, l'insieme $D$ delle combinazioni lineari finite a coefficienti in $QQ$ (o $QQ + j QQ$ nel caso di spazio complesso) è ovviamente numerabile e inoltre è denso.
Non mi è chiaro perché $D$ è denso. Io so che se $S$ è un sistema ortonormale completo, allora il sottospazio generato da $S$ è denso, ma $D$ non è il sottospazio generato da $S$
Risposte
Sia $(u_n)$ un s.o.n.c. di uno spazio di Hilbert $H$ (diciamo reale).
Sia $x\in H$ e sia $\epsilon > 0$ fissato.
Abbiamo che $x = \sum_n c_n u_n$, con $c_n =$.
Esiste $N\in NN$ tale che, posto $x_0 = \sum_{n=1}^{N} c_n u_n$, si ha $||x-x_0|| < \epsilon /2$.
Siano ora $d_n\in QQ$ tali che $|c_n-d_n| < \epsilon/(2\sqrt{N})$ per ogni $n=1,...,N$, e sia
$y_0 = \sum_{n=1}^{N} d_n u_n$.
Allora $||x_0 - y_0||^2 = \sum_{n=1}^{N} |c_n-d_n|^2 < \frac{\epsilon^2}{4}$, cioè $||x_0-y_0||<\epsilon/2$.
Quindi hai trovato $y_0$, che è combinazione lineare finita a coefficienti in $QQ$ degli elementi $(u_n)$, tali che $||x-y_0|| < \epsilon$.
Sia $x\in H$ e sia $\epsilon > 0$ fissato.
Abbiamo che $x = \sum_n c_n u_n$, con $c_n =
Esiste $N\in NN$ tale che, posto $x_0 = \sum_{n=1}^{N} c_n u_n$, si ha $||x-x_0|| < \epsilon /2$.
Siano ora $d_n\in QQ$ tali che $|c_n-d_n| < \epsilon/(2\sqrt{N})$ per ogni $n=1,...,N$, e sia
$y_0 = \sum_{n=1}^{N} d_n u_n$.
Allora $||x_0 - y_0||^2 = \sum_{n=1}^{N} |c_n-d_n|^2 < \frac{\epsilon^2}{4}$, cioè $||x_0-y_0||<\epsilon/2$.
Quindi hai trovato $y_0$, che è combinazione lineare finita a coefficienti in $QQ$ degli elementi $(u_n)$, tali che $||x-y_0|| < \epsilon$.
Ti ringrazio in ogni caso per l'intervento, tuttavia quest'ultimo non fuga il mio dubbi. Tra l'altro cerco una spiegazione più intuitiva che basata su calcoli. Il mio libro presenta il risultato come ovvio, dunque immagino non dovrebbe essere difficile convincersene anche senza fare conti.
Al di là dei calcoli, se provi a leggere la dimostrazione, vedi anche che l'idea è molto semplice.
Ogni $x\in H$ può essere approssimato bene a piacere da una combinazione lineare finita di $(u_n)$.
A questo punto, quest'ultima combinazione lineare finita può essere trasformata in una combinazione lineare finita a coefficienti in $QQ$, vicina a piacere alla precedente: basta modificare (poco) ogni coefficiente $c_n$ della combinazione lineare prendendo un razionale $d_n$ vicino a esso.
Ogni $x\in H$ può essere approssimato bene a piacere da una combinazione lineare finita di $(u_n)$.
A questo punto, quest'ultima combinazione lineare finita può essere trasformata in una combinazione lineare finita a coefficienti in $QQ$, vicina a piacere alla precedente: basta modificare (poco) ogni coefficiente $c_n$ della combinazione lineare prendendo un razionale $d_n$ vicino a esso.
Ma infatti ho letto i tuoi conti e cmq l'idea che hai espresso, sia a conti che a parole, l'avevo capita. Però non mi torna ugualmente.
Allora, tramite combinazioni lineari a coefficienti in $QQ$ di elementi di $S$, approssimo arbitrariamente bene gli elementi di un sottospazio denso, non di tutto lo spazio. Sta qui la faccenda che non mi è chiara.
Allora, tramite combinazioni lineari a coefficienti in $QQ$ di elementi di $S$, approssimo arbitrariamente bene gli elementi di un sottospazio denso, non di tutto lo spazio. Sta qui la faccenda che non mi è chiara.
Scusate se mi intrometto, magari non riuscirò ad aggiungere niente di più, provo solo a cambiare l' impostazione
Riprendo le tue parole: il sottospazio generato da $S$(dove $S$ sono gli $u_n$ di Rigel), approssima abbastanza bene gli $x\inH$.
Questo spazio in formule è $Span{u_1,u_2,...,u_n,...}={\sum_{i=1}^N c_n*u_n\ |\ N\inNN\ ,\ c_n\inRR\}$
Ciò che Rigel ha aggiunto a questo tuo ragionamento è che essendo $QQ$ denso in $RR$ i coefficienti $c_n$ possono essere approssimati arbitrariamente bene.
"Kroldar":
Non mi è chiaro perché $D$ è denso. Io so che se $S$ è un sistema ortonormale completo, allora il sottospazio generato da $S$ è denso, ma $D$ non è il sottospazio generato da $S$
Riprendo le tue parole: il sottospazio generato da $S$(dove $S$ sono gli $u_n$ di Rigel), approssima abbastanza bene gli $x\inH$.
Questo spazio in formule è $Span{u_1,u_2,...,u_n,...}={\sum_{i=1}^N c_n*u_n\ |\ N\inNN\ ,\ c_n\inRR\}$
Ciò che Rigel ha aggiunto a questo tuo ragionamento è che essendo $QQ$ denso in $RR$ i coefficienti $c_n$ possono essere approssimati arbitrariamente bene.
Certo, fino a qui ci siamo. Mi manca il passaggio successivo.
Mi sembra di avere un sottospazio denso in un sottospazio a sua volta denso. Non so se riesco a spiegarmi bene. C'è un denso di troppo...
Mi sembra di avere un sottospazio denso in un sottospazio a sua volta denso. Non so se riesco a spiegarmi bene. C'è un denso di troppo...
Supponi di avere tre insiemi $A\subset B\subset H$, tali che $\bar{A}\supe B$ ($A$ è denso in $B$) e $\bar{B} = H$ ($B$ è denso in $H$).
Allora $\bar{A} = \bar{B}$ e dunque $\bar{A} = H$.
Allora $\bar{A} = \bar{B}$ e dunque $\bar{A} = H$.
Perfetto, tutto torna. Grazie.
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