Delucidazioni sulla formula di Taylor
Purtroppo, essendo Settembre, la mia professoressa prima dell'esame, che sarà a breve, ha tenuto un solo ricevimento, e ad agosto l'ateneo era chiuso. Ho dunque domandato a un mio amico quello che gli ha detto, essendo stato quel giorno impossibilitato ad andare, ma non sono molto convinto...
Innanzitutto, gli avrebbe detto che per verificare se è possibile scrivere il polinomio di Taylor di n-esimo grado per Xo è necessario che la funzione non sia solo derivabile n volte (come credevo io) in Xo, ma anche che la stessa derivata n-esima sia continua. In tutta la teoria non ho mai trovato che in un intorno di Xo la funzione dovesse essere di classe di continuità n, e quindi credevo non fosse necessario verificare la continuità in Xo della derivata n-esima, ma solo se la (n-1)-esima derivata fosse a sua volta derivabile.
Inoltre, prescindendo dalla continuità della derivata n-esima, il mio collega ha capito che dobbiamo verificare per ogni derivata di grado inferiore ad n anche la continuità in Xo. Perché? Anche se fosse, se dimostriamo che la funzione è derivabile in un punto, non è là automaticamente anche continua in tale punto? Di certo esiste una proposizione che asserisce questo, e che non credo di mal interpretarla.
Infine, e questa è la domanda forse più importante, riguardo la classe di continuità, per gli esercizi dove chiede o dove è necessario calcolarlo, posso certamente dire che essa è C^oo, nel dominio, per polinomi ed esponenziali del tipo e^x, se non erro, oltre che per le funzioni periodiche (seno, coseno, tangente, arcotangente, arcocoseno e arcoseno) o sbaglio? Mi è stato riferito da molti che a parer loro lo sarebbe anche con le funzioni irrazionali, con indice pari o dispari, non ricordo. Ma mi sembra assurdo solo vedendo la radice quadrata di x nel piano cartesiano...ma potrei sbagliarmi. Ho qualche dubbio, invece, sulle funzioni di polinomi di stesso grado o di grado diverso sia al numeratore che al denominatore. E le logaritmiche?
Tutto questo mi serve, in particolare, per sapere se posso scrivere direttamente il polinomio di Taylor in un punto senza dover verificare la derivabilità n volte.
Grazie in anticipo per le risposte.
Innanzitutto, gli avrebbe detto che per verificare se è possibile scrivere il polinomio di Taylor di n-esimo grado per Xo è necessario che la funzione non sia solo derivabile n volte (come credevo io) in Xo, ma anche che la stessa derivata n-esima sia continua. In tutta la teoria non ho mai trovato che in un intorno di Xo la funzione dovesse essere di classe di continuità n, e quindi credevo non fosse necessario verificare la continuità in Xo della derivata n-esima, ma solo se la (n-1)-esima derivata fosse a sua volta derivabile.
Inoltre, prescindendo dalla continuità della derivata n-esima, il mio collega ha capito che dobbiamo verificare per ogni derivata di grado inferiore ad n anche la continuità in Xo. Perché? Anche se fosse, se dimostriamo che la funzione è derivabile in un punto, non è là automaticamente anche continua in tale punto? Di certo esiste una proposizione che asserisce questo, e che non credo di mal interpretarla.
Infine, e questa è la domanda forse più importante, riguardo la classe di continuità, per gli esercizi dove chiede o dove è necessario calcolarlo, posso certamente dire che essa è C^oo, nel dominio, per polinomi ed esponenziali del tipo e^x, se non erro, oltre che per le funzioni periodiche (seno, coseno, tangente, arcotangente, arcocoseno e arcoseno) o sbaglio? Mi è stato riferito da molti che a parer loro lo sarebbe anche con le funzioni irrazionali, con indice pari o dispari, non ricordo. Ma mi sembra assurdo solo vedendo la radice quadrata di x nel piano cartesiano...ma potrei sbagliarmi. Ho qualche dubbio, invece, sulle funzioni di polinomi di stesso grado o di grado diverso sia al numeratore che al denominatore. E le logaritmiche?
Tutto questo mi serve, in particolare, per sapere se posso scrivere direttamente il polinomio di Taylor in un punto senza dover verificare la derivabilità n volte.
Grazie in anticipo per le risposte.
Risposte
Si, tutte le funzioni "elementari" sono di classe \(C^\infty\) dove sono definite con qualche eccezione. La radice quadrata non è derivabile in \(0\) e similmente tutte le potenze con esponente minore di \(1\). Il valore assoluto, pure, non è derivabile in \(0\). Eccetera. È inutile stare a fare una lista qui, perché sarà sempre incompleta.
Comunque la questione della classe \(C^n\) o \(C^{n+1}\) per la formula di Taylor è stata discussa a volte. Si tratta in pratica di una sottigliezza. Se la funzione è solo derivabile \(n+1\) volte e non sai se la derivata sia continua o meno, ti vale la formula con l'o-piccolo ma potrebbero non valere altre formulazioni dell'errore (O-grande, resto integrale...). Ma non ho mai visto un esempio concreto e la cosa non è stata mai un problema per me.
Comunque la questione della classe \(C^n\) o \(C^{n+1}\) per la formula di Taylor è stata discussa a volte. Si tratta in pratica di una sottigliezza. Se la funzione è solo derivabile \(n+1\) volte e non sai se la derivata sia continua o meno, ti vale la formula con l'o-piccolo ma potrebbero non valere altre formulazioni dell'errore (O-grande, resto integrale...). Ma non ho mai visto un esempio concreto e la cosa non è stata mai un problema per me.
Grazie per la risposta. Ma a parte l'ultima derivata,, dove il discorso è chiaro, bisogna verificare la continuità a ogni derivata k-esima? Il fatto di essere derivabile non implica la continuità in quel punto. Perché mai la mia professoressa avrebbe detto ciò?
Chiaramente se una funzione è derivabile n+1 volte in un punto, la sua derivata n-esima è continua in quel punto. Non ti preoccupare troppo delle parole della professoressa, specialmente perché ti sono state riportate dall'amico. Piuttosto, apri un libro!
Mi hai chiarito molte cose. Grazie mille davvero.
Prego, mi fa molto piacere, in bocca al lupo.
Crepi.
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