Delucidazioni sui problemi di Cauchy
Buongiorno a tutti,
Volevo qualche delucidazione più chiara riguardo ad un esercizio.
Dato $\varphi: RR rightarrow RR$ soluzione massimale del problema di Cauchy $\{ (dot x = min{sen(x), x^2}), (x(0) = x_0) :}$
1) Per nessuna $\x_0 in RR$ la soluzione è stazionaria.
2) Per ogni $\x_0 in RR$ vi è un'unica soluzione definita su tutto $\RR$.
Ragionando un attimo, senza risolvere l'equazione differenziale, dovrebbe essere la prima falsa, poiché in $\t=0$ ho infiniti punti stazionari dati dal $\sen(x)$, giusto? I punti stazionari sono i punti in cui $\min{sen(x), x^2}$ si annulla, quindi in $\0 +kpi$.
La seconda invece è vera. L'ho provata a dimostrare notando come la soluzione sia limitata in $\[-1, 1]$ e come sia $\min{sen(x), x^2}$ globalmente Lipschitziana. Che $\I$ fosse tutto $\RR$ è banale. "Tutte" le soluzioni che si ottengono cambiando la condizione iniziale del problema di Cauchy sono sempre la stessa, vero?
Volevo qualche delucidazione più chiara riguardo ad un esercizio.
Dato $\varphi: RR rightarrow RR$ soluzione massimale del problema di Cauchy $\{ (dot x = min{sen(x), x^2}), (x(0) = x_0) :}$
1) Per nessuna $\x_0 in RR$ la soluzione è stazionaria.
2) Per ogni $\x_0 in RR$ vi è un'unica soluzione definita su tutto $\RR$.
Ragionando un attimo, senza risolvere l'equazione differenziale, dovrebbe essere la prima falsa, poiché in $\t=0$ ho infiniti punti stazionari dati dal $\sen(x)$, giusto? I punti stazionari sono i punti in cui $\min{sen(x), x^2}$ si annulla, quindi in $\0 +kpi$.
La seconda invece è vera. L'ho provata a dimostrare notando come la soluzione sia limitata in $\[-1, 1]$ e come sia $\min{sen(x), x^2}$ globalmente Lipschitziana. Che $\I$ fosse tutto $\RR$ è banale. "Tutte" le soluzioni che si ottengono cambiando la condizione iniziale del problema di Cauchy sono sempre la stessa, vero?
Risposte
Ciao Thrank,
Attenzione che $t $ non c'entra, si parla di soluzioni stazionarie (quindi della $x$) che sono del tipo
$x_k = k\pi $
ove $k \in \ZZ $
Quindi ovviamente la 1) è falsa, anche perché comunque si vede subito che $x_0 = 0 $ è una soluzione stazionaria.
"Thrank":
[...] poiché in $t=0$ ho infiniti punti stazionari [...]
Attenzione che $t $ non c'entra, si parla di soluzioni stazionarie (quindi della $x$) che sono del tipo
$x_k = k\pi $
ove $k \in \ZZ $
Quindi ovviamente la 1) è falsa, anche perché comunque si vede subito che $x_0 = 0 $ è una soluzione stazionaria.
Oh, grazie! 
"Thrank":
la soluzione sia limitata in $\[-1, 1]$
Cosa vuol dire questo? Così come lo hai scritto, è falso; basta prendere la soluzione corrispondente a \(x_0=2\), per esempio.
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