DELUCIDAZIONI esercizio curve cartesiane
Qualcuno potrebbe, per cortesia, fornirmi una spiegazione su come svolgere questo tipo di esercizio?
Per il caso seguente, si calcoli la direzione della retta tangente alla curva rappresentata dall'insieme delle triple che soddisfa le 2 equazioni date, nel punto P. (E' gia' verificata la applicabilita' del teorema di Dini).
$ e^(x^2-1)-ycos(z-1)=0$, $x+y+z=3$
il punto è $P=(1,1,1)$
Grazie a tutti.
Per il caso seguente, si calcoli la direzione della retta tangente alla curva rappresentata dall'insieme delle triple che soddisfa le 2 equazioni date, nel punto P. (E' gia' verificata la applicabilita' del teorema di Dini).
$ e^(x^2-1)-ycos(z-1)=0$, $x+y+z=3$
il punto è $P=(1,1,1)$
Grazie a tutti.
Risposte
Ciao,
il tuo mi sembra un esercizio al quanto strano......il punto $P(0,0,0)$ non appartiene a nessuna delle due funzioni....quindi come fa ad appartenere alla curva risultante dall'intersezione?
Non lo capisco!
il tuo mi sembra un esercizio al quanto strano......il punto $P(0,0,0)$ non appartiene a nessuna delle due funzioni....quindi come fa ad appartenere alla curva risultante dall'intersezione?
Non lo capisco!
"Alexp":
Ciao,
il tuo mi sembra un esercizio al quanto strano......il punto $P(0,0,0)$ non appartiene a nessuna delle due funzioni....quindi come fa ad appartenere alla curva risultante dall'intersezione?
Non lo capisco!
UHHHHHHHH scusami, hai ragione!!!
Ho sbagliato a copiare. Il punto è (1,1,1)... Scusa.
Ok...
allora senza stare a fare i conti, il metodo sta nel isolare una variabile della seconda equazione (scelgo la seconda solo perchè è più semplice) ad esempio la $z$ ottenendo così $z=3-x-y$ e poi sostituendo quello ottenuto al posto della $z$ nella prima funzione.
A questo punto la funzione implicita di due variabili $x$ e $y$ che si ottiene è la curva risultante dall'intersezione delle due funzioni iniziali.
Ora applicando Dini ottieni il coefficiente angolare della tg, se poi vuoi risalire all'angolo che misura l'inclinazione della tg allora calcoli l'arctg del coefficiente ottenuto.
Ciao
allora senza stare a fare i conti, il metodo sta nel isolare una variabile della seconda equazione (scelgo la seconda solo perchè è più semplice) ad esempio la $z$ ottenendo così $z=3-x-y$ e poi sostituendo quello ottenuto al posto della $z$ nella prima funzione.
A questo punto la funzione implicita di due variabili $x$ e $y$ che si ottiene è la curva risultante dall'intersezione delle due funzioni iniziali.
Ora applicando Dini ottieni il coefficiente angolare della tg, se poi vuoi risalire all'angolo che misura l'inclinazione della tg allora calcoli l'arctg del coefficiente ottenuto.
Ciao
vorrei proporti il mio modo di vederla (almeno se sbaglio posso confrontarmi)...
appurato che la matrice Jacobiana associata al sistema, di cui nel thread, (rispetto alle derivate parziali nelle direzioni di y e z) è tale che:
det $(del(f,g))/(del(y,z)$= det $(((delf)/(dely),(delf)/(delz)),((delg)/(dely),(delg)/(delz)))!=0$
posso esprimere il sistema stesso rendendolo dipendente della sola variabile x ed esplicitando y e z come funzioni di x medesima.
Allora ottengo che f e g sono dipendenti da 3 parametri: $x,\alpha(x),\beta(x)$
sostitendo ad y la corrispondente $\alpha(x)$ e a z la relativa $\beta(x)$ e derivando le equazioni trovate (a partire sempre dal sistema iniziale), pervengo ad un'altro sistema che, risolto, fornisce i valori di x' (1 in questo caso, in quanto è il parametro libero), $\alpha(1)'$, $beta(1)'$.
Per l'esempio proposto
x=1
$\alpha(1)'$=2
$\beta(1)'$=-3
la direzione della retta tangente sara' parallela a (1,2,-3).... ??????????
Sbaglio?
Grazie ancora
appurato che la matrice Jacobiana associata al sistema, di cui nel thread, (rispetto alle derivate parziali nelle direzioni di y e z) è tale che:
det $(del(f,g))/(del(y,z)$= det $(((delf)/(dely),(delf)/(delz)),((delg)/(dely),(delg)/(delz)))!=0$
posso esprimere il sistema stesso rendendolo dipendente della sola variabile x ed esplicitando y e z come funzioni di x medesima.
Allora ottengo che f e g sono dipendenti da 3 parametri: $x,\alpha(x),\beta(x)$
sostitendo ad y la corrispondente $\alpha(x)$ e a z la relativa $\beta(x)$ e derivando le equazioni trovate (a partire sempre dal sistema iniziale), pervengo ad un'altro sistema che, risolto, fornisce i valori di x' (1 in questo caso, in quanto è il parametro libero), $\alpha(1)'$, $beta(1)'$.
Per l'esempio proposto
x=1
$\alpha(1)'$=2
$\beta(1)'$=-3
la direzione della retta tangente sara' parallela a (1,2,-3).... ??????????
Sbaglio?
Grazie ancora
Quello che dici non mi è chiaro....
perchè per come la penso io, la funzione $g$ (ad esempio) rappresenta un piano $z=3-x-y$, quindi una superficie e dunque non può una superficie essere scirtta come funzione di $x$, alfa$(x)$ e beta$(x)$, altrimenti sarebbe una funzione di un unico parametro che è appunto $x$ e perciò risulterebbe una curva e non una superficie, stessa cosa per la funzione $f$.
perchè per come la penso io, la funzione $g$ (ad esempio) rappresenta un piano $z=3-x-y$, quindi una superficie e dunque non può una superficie essere scirtta come funzione di $x$, alfa$(x)$ e beta$(x)$, altrimenti sarebbe una funzione di un unico parametro che è appunto $x$ e perciò risulterebbe una curva e non una superficie, stessa cosa per la funzione $f$.
Basta usare la caratterizzazione dello spazio tangente ad una sottovarietà di $\RR^n$: in tal caso la curva data è una sottovarietà di $\RR^3$ che è luogo degli zeri di una funzione $g : \RR^3 \to \RR^2$. Lo spazio tangente in $p$ è dato dal nucleo di $dg(p)$, quindi basta calcolare il differenziale di $g$ nel punto $p$.
"Alexp":
Quello che dici non mi è chiaro....
perchè per come la penso io, la funzione $g$ (ad esempio) rappresenta un piano $z=3-x-y$, quindi una superficie e dunque non può una superficie essere scirtta come funzione di $x$, alfa$(x)$ e beta$(x)$, altrimenti sarebbe una funzione di un unico parametro che è appunto $x$ e perciò risulterebbe una curva e non una superficie, stessa cosa per la funzione $f$.
www.mat.uniroma1.it/people/terracina/dini.pdf
pagina 8... è una delle generalizzazioni del teorema delle funzioni implicite.
"Gargaroth":
[quote="Alexp"]Quello che dici non mi è chiaro....
perchè per come la penso io, la funzione $g$ (ad esempio) rappresenta un piano $z=3-x-y$, quindi una superficie e dunque non può una superficie essere scirtta come funzione di $x$, alfa$(x)$ e beta$(x)$, altrimenti sarebbe una funzione di un unico parametro che è appunto $x$ e perciò risulterebbe una curva e non una superficie, stessa cosa per la funzione $f$.
www.mat.uniroma1.it/people/terracina/dini.pdf
pagina 8... è una delle generalizzazioni del teorema delle funzioni implicite.[/quote]
e ancora....
www.dma.unifi.it/~modica/2005-06/an2/implicite.pdf
pag. 148, es. 17.5
si, ma $x$, alfa$(x)$ e beta$(x)$ rappresenta la curva della soluzione del sistema ossia la curva di intersezione....tu hai scritto: "Allora ottengo che f e g sono dipendenti da 3 parametri: $x$, alfa$(x)$ e beta$(x)$", secondo me non è la stessa cosa.....perchè un conto è dire che le due funzioni f e g "contengono" entrambe una curva data da $x$, alfa$(x)$ e beta$(x)$ ed un conto è dire che f e g dipendono solo dal parametro $x$.
Comunque poco male, ci siamo chiariti.....quindi in definitiva è corretto!
Comunque poco male, ci siamo chiariti.....quindi in definitiva è corretto!
"Alexp":
si, ma $x$, alfa$(x)$ e beta$(x)$ rappresenta la curva della soluzione del sistema ossia la curva di intersezione....tu hai scritto: "Allora ottengo che f e g sono dipendenti da 3 parametri: $x$, alfa$(x)$ e beta$(x)$", secondo me non è la stessa cosa.....perchè un conto è dire che le due funzioni f e g "contengono" entrambe una curva data da $x$, alfa$(x)$ e beta$(x)$ ed un conto è dire che f e g dipendono solo dal parametro $x$.
Comunque poco male, ci siamo chiariti.....quindi in definitiva è corretto!
Mi scuso per la poca chiarezza...
quindi pensi sia corretto????
Grazie...
Si, non ho svolto i conti, ma comunque il procedimento è corretto, nel senso che prima ricavi da una delle due funzioni del sistema la funzione $z=w(x,y)$, poi sostituisci questa funzione ottenuta nell'altra, a questo punto ottieni una funzione di $(x,y)$, la quale se è derivabile per $y$ allora puoi, a sua volta, esplicitare $y=h(x)$.....da questa sostituendola in $z=w(x,y)$, ottieni $z=s(x)$...infine hai una curva $G$ data da $x$, $h(x)$ e $s(x)$.
La derivata di $G$ ossia $G'=1,h'(x),s'(x)$ è la tg.
Ti torna?
Ciao
La derivata di $G$ ossia $G'=1,h'(x),s'(x)$ è la tg.
Ti torna?
Ciao
"Alexp":
Si, non ho svolto i conti, ma comunque il procedimento è corretto, nel senso che prima ricavi da una delle due funzioni del sistema la funzione $z=w(x,y)$, poi sostituisci questa funzione ottenuta nell'altra, a questo punto ottieni una funzione di $(x,y)$, la quale se è derivabile per $y$ allora puoi, a sua volta, esplicitare $y=h(x)$.....da questa sostituendola in $z=w(x,y)$, ottieni $z=s(x)$...infine hai una curva $G$ data da $x$, $h(x)$ e $s(x)$.
La derivata di $G$ ossia $G'=1,h'(x),s'(x)$ è la tg.
Ti torna?
Ciao
si si, torna tutto... stavo sclerando INUTILMENTE perche' il risultato proposto era SBAGLIATO....
Grazie ancora...
Il procedimento è corretto, anche se va detto che le varie esplicitazioni si riescono a fare perchè le equazioni lo consentono. Senza esplicitare uno procede in modo generale come dicevo. Il differenziale di $g$, rispetto alle basi canoncihe, è dato dalla matrice $((2xe^{x^2-1},-cos(z-1),ysen(z-1)),(1,1,1))$, che in $P=(1,1,1)$ vale $((2,-1,0),(1,1,1))$. Ne segue che il nucleo di $dg(P)$ è il sottospazio dato dalle condizioni $y-2x=0$ e $z+3x=0$ che è la retta tangente alla curva data in $P$; essa è generata, per esempio, dal vettore $(1,2-,3).
Si Luca, giusta considerazione, qui le funzioni erano facilmente esplicitabili.....quindi il procedimento generale corretto è quello che dici tu!
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