Delucidazioni dominio normale per integrali doppi

[Rameses]

Buongiorno ragazzi, come da titolo vorrei avere una spiegazione sul seguente esercizio:

$ int int_(D)^( )(e^x+xy) dx dy $

dove D è un triangolo dato dai unti (0;0) (1;1) (1;-1)

Ora l'esercizio non è troppo difficile ma una cosa un po' mi ha messo in crisi ed è la seguente:

come mai il dominio è normale rispetto all'asse x ma non all'asse y?

Inserisco delle foto per rendere meglio l'idea di ciò che sto cercando di dire.





Qui è rappresentato il dominio normale ad x, e risulta 0<=x<=1 e -x<=y<=x ed è tutto chiaro.




Qui invece abbiamo il dominio normale rispetto ad y (ottenuto girando il foglio in senso antiorario), come mai non posso dire che -1<=y<=1 e -y<=x<=y??

Spero di essere stato chiaro su quale sia esattamente il ragionamento che non mi torna, ringrazio in anticipo per a risposta.

Saluti,
Rameses

[dissonance]

E chi ti ha detto che non lo puoi fare?

[Rameses]

https://www.youtube.com/watch?v=6x8obxq ... k8&index=2

dal minuto 3:40 a 4:30

non ho capito perchè, considerando il dominio normale ad y, prende in considerazione 3 rette invece di 2.

[dissonance]

Noo, guarda, mi rifiuto di guardare video su YouTube. Sono profondamente contrario alla matematica spiegata attraverso i video.

viewtopic.php?p=8275939

[Rameses]

Ooook, rispetto la tua scelta. Allora mettiamola così, questo integrale è normale sia ad x che a y e i calcoli, fatti in un modo o nell'altro, mi porterebbero comunque alla stessa soluzione?

[dissonance]

La risposta migliore è: falli in tutti e due i modi e confronta i risultati. Ti potrebbe sembrare che ti sto prendendo in giro ma non è così, sono davvero convinto che sia la cosa migliore per te. La matematica si impara facendola e sperimentando.

Se ti va, fai questi calcoli e posta qui i due risultati, così li commentiamo.

[Rameses]

Ho provato a fare i calcoli, posto la foto per risparmiare il mio e il tuo tempo (se hai difficoltà a leggere dimmelo che così ne carico una migliore). Ottengo 0, il che mi fa capire che probabilmente ho commesso qualche errore. Lascio a te il commento(non deprimerti se vedi errori idioti o banali, purtroppo la matematica è la mia bestia nera)

[dissonance]

Non dovresti postare foto, per il momento è tollerabile perché hai pochi messaggi ma il regolamento lo proibisce, per vari motivi. Impara a scrivere bene le formule, è una abilità molto importante per chi ha a che fare con le scienze.

Comunque, sono sbagliati gli estremi di integrazione. Se vuoi integrare così, allora \(y\in(-1, 1)\) e devi distinguere due casi: per \(y>0\), \(x\in(y, 1)\), per \(y<0\), \(x\in (-y, 1)\). Puoi condensarli in uno scrivendo \(x\in (|y|, 1)\).

Se vuoi integrare nell'altro ordine, allora \(x\in(0, 1)\) e \(y\in (-x, x)\). Secondo me è più facile così.

Ragiona graficamente.