Delucidazione su serie
Avrei questa serie e gradirei se qualcuno mi confermi il mio procedimento se si errato o corretto:
$sum_{n=1}^(+infty) (1+3/n)^n*(1/n^2)$
ho applicato il criterio del cofronto asintotico confrontandola con la serie $sum_{n=1}^infty 1/n^2$ che come ben si sà è convergente.
Quindi:
$lim_(n to +infty) ((1+3/n)^n*(1/n^2))/(1/n^2)=lim_(x to 0) ((1+3x)^(1/x)*(x^2))/x^2=e^3$
con questo possiamo dire che la serie è convergente alla serie armonica
$sum_{n=1}^(+infty) (1+3/n)^n*(1/n^2)$
ho applicato il criterio del cofronto asintotico confrontandola con la serie $sum_{n=1}^infty 1/n^2$ che come ben si sà è convergente.
Quindi:
$lim_(n to +infty) ((1+3/n)^n*(1/n^2))/(1/n^2)=lim_(x to 0) ((1+3x)^(1/x)*(x^2))/x^2=e^3$
con questo possiamo dire che la serie è convergente alla serie armonica
Risposte
"Con questo possiamo dire che la serie è convergente" punto.
Che c'entra la serie armonica? E che vuol dire che una serie "converge alla serie armonica"?
Non ho mai sentito parlare di serie che convergono verso altre serie...
Che c'entra la serie armonica? E che vuol dire che una serie "converge alla serie armonica"?
Non ho mai sentito parlare di serie che convergono verso altre serie...
"Gugo82":
"Con questo possiamo dire che la serie è convergente" punto.
Che c'entra la serie armonica? E che vuol dire che una serie "converge alla serie armonica"?
Non ho mai sentito parlare di serie che convergono verso altre serie...
Be si il mio modo di esprimermi lascia molto a desiderare.Riformulo le mie affermazioni.Applicando il criterio del confronto asintotico confrontiamo la serie data con la serie $1/n^2$ (che sappiamo che converge) otteniamo dal limite il valore $e^3$. Dal criterio del confronto asintotico possiamo affermmare che essendo il limite finito e diverso da $0$ la serie data ha lo stesso carattere della serie $1/n^2$ quindi essa converge ed è quello che l'esercizio chiedeva, ovvero studiare il carattere della serie.
E se il limite fosse zero? Che succederebbe?
"Gugo82":
E se il limite fosse zero? Che succederebbe?
Qualora fosse stato il limte $0$ allora il criterio del confronto asintotico non ha funzionato e bisogna ricorrere ad altre vie.
[OT]
Gugo82 è partito. Ora che ha lasciato la discussione aiutatemi non mi lasciate in questo mare di numeri
[OT]
Se il limite fosse 0, andrebbe bene comunque.
Dai un'occhiata ad esempio a questo, p. 141, oppure al libro di analisi 1 che preferisci.
Dai un'occhiata ad esempio a questo, p. 141, oppure al libro di analisi 1 che preferisci.
"amel":
Se il limite fosse 0, andrebbe bene comunque.
Dai un'occhiata ad esempio a questo, p. 141, oppure al libro di analisi 1 che preferisci.
E come se c'hai ragione. Ma allora perchè sul mio libro di analisi 1 c'è scritto:
CRITERIO DEL CONFRONTO
"Siano $sum_{n=1}^infty a_n$ e $sum_{n=1}^infty b_n$ due serie a termini positivi. Se il limite:
$lim_(n to +infty) a_n/b_n$
esiste finito e diverso da $0$ allora le due serie sono entrambe convergenti o entrambe divergenti a $+infty$
Ho citato alla lettera il mio libro di analisi scritto dal mi prof.
A pag.137 c'è la definizione di criterio del confronto ma non dice nulla del limite diverso da zero a differenza del mio libro.
In pratica nell'asserto che hai citato viene detto: se il limite tot è finito e diverso da 0, allora la serie $S_1$ converge se e solo se converge la serie $S_2$. Da ciò, per negazione (una serie a termini positivi o converge o diverge positivamente), $S_1$ diverge se e solo se diverge $S_2$. Cioè, nella prop. della dispensa che ti ho citato, è il punto i.
Ma poi ci manca: e se il limite è $0$ o $+oo$, qualcosa possiamo dire? La risposta è sì, cioè i punti ii e iii della prop. della dispensa che ti ho citato.
Non so se sono stato molto chiaro...
P.S. Curiosità, chi è il prof.? Rispondi (magari in mp) solo se ti va, eh...
Ma poi ci manca: e se il limite è $0$ o $+oo$, qualcosa possiamo dire? La risposta è sì, cioè i punti ii e iii della prop. della dispensa che ti ho citato.
Non so se sono stato molto chiaro...
P.S. Curiosità, chi è il prof.? Rispondi (magari in mp) solo se ti va, eh...
"amel":
In pratica nell'asserto che hai citato viene detto: se il limite tot è finito e diverso da 0, allora la serie $S_1$ converge se e solo se converge la serie $S_2$. Da ciò, per negazione (una serie a termini positivi o converge o diverge positivamente), $S_1$ diverge se e solo se diverge $S_2$. Cioè, nella prop. della dispensa che ti ho citato, è il punto i.
Ma poi ci manca: e se il limite è $0$ o $+oo$, qualcosa possiamo dire? La risposta è sì, cioè i punti ii e iii della prop. della dispensa che ti ho citato.
Non so se sono stato molto chiaro...
P.S. Curiosità, chi è il prof.? Rispondi (magari in mp) solo se ti va, eh...
Si si sei stato molto chiaro anzi chiarissimo e mi hai aperto gli occhi su un'importante criterio
Come prima osservazione puoi dire che la serie è a termini positivi, dunque si può escludere il caso dell'indeterminatezza. Detto questo, il criterio della radice non ti dice niente perchè risulta 1.
Il criterio del confronto con la serie armonica generalizzata è invece la strada giusta, perchè il limite è finito e $>0$, dunque le due serie hanno lo stesso carattere, ovvero convergono.
Il criterio del confronto con la serie armonica generalizzata è invece la strada giusta, perchè il limite è finito e $>0$, dunque le due serie hanno lo stesso carattere, ovvero convergono.
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