Delucidazione limiti notevoli con logaritmo
desideravo se era possibile un chiarimento avendo la funzione $f(x)=(|lnx|)^3/x^2$ e volendo calcolare i due limiti
$lim_{x \to \0}(|lnx|)^3/x^2$ e $lim_{x \to \infty}(|lnx|)^3/x^2$
a livello intuitivo io ho dato come risultato $+infty$ e 0, ed ecco la mia giustificazione per il primo in barba al limite notevole
$lim_{x \to \0}lnx/x^r=0$
ho pensato che con il valor assoluto lnx diventa infinita ed è di ordine superiore all'infinitesimo $x^2$, ma sarebbe scorretto pensare qeul limite come:
$lim_{x \to \0}(|lnx|)^3*1/x^2$ e quindi srebbe $*+infty*+infty$ ?
per il secondo invece è la forma $infty/infty$ si potrebbe applicare dell' hopital per 2 volte ed ottenere la forma del limite notevole e fa 0 ma anche senza di questo avevo pensato che comunque lnx è un infinito di ordime inferiore a qualsiasi potenza anche se elevato al cubo.
scusate la gran confusione che ho in testa....
$lim_{x \to \0}(|lnx|)^3/x^2$ e $lim_{x \to \infty}(|lnx|)^3/x^2$
a livello intuitivo io ho dato come risultato $+infty$ e 0, ed ecco la mia giustificazione per il primo in barba al limite notevole
$lim_{x \to \0}lnx/x^r=0$
ho pensato che con il valor assoluto lnx diventa infinita ed è di ordine superiore all'infinitesimo $x^2$, ma sarebbe scorretto pensare qeul limite come:
$lim_{x \to \0}(|lnx|)^3*1/x^2$ e quindi srebbe $*+infty*+infty$ ?
per il secondo invece è la forma $infty/infty$ si potrebbe applicare dell' hopital per 2 volte ed ottenere la forma del limite notevole e fa 0 ma anche senza di questo avevo pensato che comunque lnx è un infinito di ordime inferiore a qualsiasi potenza anche se elevato al cubo.
scusate la gran confusione che ho in testa....
Risposte
Nel primo caso, ossia $lim_{x \to \0}(|lnx|)^3/x^2$ il risultato che ottieni è $infty$ perchè per $x->0$ la funzione $|ln(x)|$ tende a $infty$ quindi se divido $infty$ per un qualcosa che tende a $0$, il risultato mi da appunto $infty$......pensarlo come hai scritto tu $+infty$$*$$+infty$ è assolutamente corretto!
Nel secondo caso, ossia $lim_{x \to \infty}(|lnx|)^3/x^2$ si ottiene $infty/infty$, cioè una forma indeterminata....a questo punto per risolvere il problema si applica L'Hopital, è sufficiente una volta, e si scopre che il valore di quel limite è $0$.
Ciao
P.S: guarda che il limite notevole $lim_(x \to \0)(lnx)/x^r$ non da $0$, ma $infty$; da come risultato $0$ per $x->infty$.
Nel secondo caso, ossia $lim_{x \to \infty}(|lnx|)^3/x^2$ si ottiene $infty/infty$, cioè una forma indeterminata....a questo punto per risolvere il problema si applica L'Hopital, è sufficiente una volta, e si scopre che il valore di quel limite è $0$.
Ciao
P.S: guarda che il limite notevole $lim_(x \to \0)(lnx)/x^r$ non da $0$, ma $infty$; da come risultato $0$ per $x->infty$.
Penso sia più corretto scrivere
$xto 0^+$
Non può tendere a zero da sinistra (valori negativi) per via del logaritmo.
$xto 0^+$
Non può tendere a zero da sinistra (valori negativi) per via del logaritmo.
"Steven":
Penso sia più corretto scrivere
$xto 0^+$
Non può tendere a zero da sinistra (valori negativi) per via del logaritmo.
touchè solo che non lo sapevo scrivere con le formule
"Alexp":
Nel primo caso, ossia $lim_{x \to \0}(|lnx|)^3/x^2$ il risultato che ottieni è $infty$ perchè per $x->0$ la funzione $|ln(x)|$ tende a $infty$ quindi se divido $infty$ per un qualcosa che tende a $0$, il risultato mi da appunto $infty$......pensarlo come hai scritto tu $+infty$$*$$+infty$ è assolutamente corretto!
Nel secondo caso, ossia $lim_{x \to \infty}(|lnx|)^3/x^2$ si ottiene $infty/infty$, cioè una forma indeterminata....a questo punto per risolvere il problema si applica L'Hopital, è sufficiente una volta, e si scopre che il valore di quel limite è $0$.
Ciao
P.S: guarda che il limite notevole $lim_(x \to \0)(lnx)/x^r$ non da $0$, ma $infty$; da come risultato $0$ per $x->infty$.
grazie per i chiarimenti, quel limite l'ho trovato nello scorcio di un libro, ...ho rischiato grosso....mi spieghi percè basta una sola volta?
non viene:
$lim_{x \to \infty}((3 1/x) (lnx)^2)/(2x)$
che cambia non è sempre indeterminata?
Si hai ragione, distrattamente nella risoluzione ho considerato $ln(x^3)$ anzichè $|lnx|^3$.......sorry!
"Alexp":
Si hai ragione, distrattamente nella risoluzione ho considerato $ln(x^3)$ anzichè $|lnx|^3$.......sorry!
non devi scusarti questo serve propio per chiarire i dubbi, non vado in cerca di una semplice risposta ad un quesito ma cerco ci capire confrontandomi con altre idee, anche se poi spesso le mie si rivelano errate
, grazie tante
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